Cara menggambar kubus 4 dimensi. Kubus empat dimensi. Ke ruang dua dimensi

Cara menggambar kubus 4 dimensi. Kubus empat dimensi. Ke ruang dua dimensi
Cara menggambar kubus 4 dimensi. Kubus empat dimensi. Ke ruang dua dimensi
23.10.2020

Tesseract (dari bahasa Yunani kuno τέσσερες ἀκτῖνες - empat sinar) adalah hypercube empat dimensi - analog dari kubus dalam ruang empat dimensi.

Bayangan merupakan proyeksi (perspektif) kubus empat dimensi ke dalam ruang tiga dimensi.

Menurut Kamus Oxford, kata "tesseract" diciptakan dan digunakan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton (1853–1907) dalam bukunya A New Age of Thought. Belakangan, beberapa orang menyebut sosok yang sama sebagai "tetracube".

Geometri

Tesseract biasa dalam ruang empat dimensi Euclidean didefinisikan sebagai kumpulan titik cembung (±1, ±1, ±1, ±1). Dengan kata lain, dapat direpresentasikan sebagai himpunan berikut:

Tesseract dibatasi oleh delapan hyperplanes, yang perpotongannya dengan Tesseract itu sendiri menentukan wajah tiga dimensinya (yang merupakan kubus biasa). Setiap pasang wajah 3D yang tidak sejajar berpotongan membentuk wajah 2D (persegi), dan seterusnya. Terakhir, tesseract memiliki 8 permukaan 3D, 24 permukaan 2D, 32 tepi, dan 16 simpul.

Deskripsi populer

Mari kita coba bayangkan seperti apa bentuk hypercube tanpa meninggalkan ruang tiga dimensi.

Dalam "ruang" satu dimensi - pada sebuah garis - kita memilih segmen AB dengan panjang L. Pada bidang dua dimensi pada jarak L dari AB, kita menggambar segmen DC sejajar dengannya dan menghubungkan ujung-ujungnya. Hasilnya adalah persegi ABCD. Mengulangi operasi ini dengan bidang, kita memperoleh kubus tiga dimensi ABCDHEFG. Dan dengan menggeser kubus pada dimensi keempat (tegak lurus terhadap tiga dimensi pertama) sejauh L, kita mendapatkan hypercube ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Segmen satu dimensi AB berfungsi sebagai sisi persegi dua dimensi ABCD, persegi - sebagai sisi kubus ABCDHEFG, yang selanjutnya akan menjadi sisi hypercube empat dimensi. Ruas garis lurus mempunyai dua titik batas, persegi mempunyai empat titik sudut, dan kubus mempunyai delapan titik batas. Dalam hypercube empat dimensi, akan ada 16 simpul: 8 simpul dari kubus asal dan 8 simpul yang digeser pada dimensi keempat. Ia memiliki 32 sisi - 12 masing-masing memberikan posisi awal dan akhir kubus asli, dan 8 sisi lainnya "menggambar" delapan simpulnya, yang telah berpindah ke dimensi keempat. Alasan yang sama dapat dilakukan untuk wajah hypercube. Dalam ruang dua dimensi hanya ada satu (persegi itu sendiri), sebuah kubus memiliki 6 buah (dua sisi dari persegi yang dipindahkan dan empat lagi yang menggambarkan sisi-sisinya). Hypercube empat dimensi memiliki 24 sisi persegi - 12 kotak kubus asli di dua posisi dan 12 kotak dari dua belas tepinya.

Dengan cara yang sama, kita dapat melanjutkan penalaran kita tentang hypercube dengan jumlah dimensi yang lebih besar, namun jauh lebih menarik untuk melihat bagaimana hypercube empat dimensi akan terlihat bagi kita, penghuni ruang tiga dimensi. Untuk ini kita akan menggunakan metode analogi yang sudah dikenal.

Tesseract membuka bungkusnya

Mari kita ambil kubus kawat ABCDHEFG dan melihatnya dengan satu mata dari sisi tepinya. Kita akan melihat dan dapat menggambar dua kotak pada bidang (tepi dekat dan jauhnya), dihubungkan oleh empat garis - tepi samping. Demikian pula, hypercube empat dimensi dalam ruang tiga dimensi akan terlihat seperti dua “kotak” kubik yang disisipkan satu sama lain dan dihubungkan oleh delapan sisi. Dalam hal ini, "kotak" itu sendiri - wajah tiga dimensi - akan diproyeksikan ke ruang "kita", dan garis yang menghubungkannya akan meregang di dimensi keempat. Anda juga dapat mencoba membayangkan kubus bukan dalam proyeksi, tetapi dalam gambar spasial.

Sama seperti kubus tiga dimensi yang dibentuk oleh persegi yang digeser panjang sisinya, kubus yang digeser ke dimensi keempat akan membentuk hiperkubus. Itu dibatasi oleh delapan kubus, yang dalam perspektif akan terlihat seperti sosok yang agak rumit. Bagian yang tersisa di ruang “kita” digambar dengan garis padat, dan bagian yang masuk ke dalam hyperspace digambar dengan garis putus-putus. Hypercube empat dimensi itu sendiri terdiri dari kubus yang jumlahnya tak terhingga, sama seperti kubus tiga dimensi yang dapat “dipotong” menjadi kotak datar yang jumlahnya tak terhingga.

Dengan memotong enam sisi kubus tiga dimensi, Anda dapat menguraikannya menjadi bangun datar - sebuah pengembangan. Ini akan memiliki persegi di setiap sisi wajah aslinya, ditambah satu lagi - wajah yang berlawanan dengannya. Dan pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi akan terdiri dari kubus asli, enam kubus yang “tumbuh” darinya, ditambah satu lagi - “hyperface” terakhir.

Properti Tesseract adalah perpanjangan dari properti bentuk geometris dimensi yang lebih kecil ke dalam ruang empat dimensi.

Proyeksi

Ke ruang dua dimensi

Struktur ini sulit untuk dibayangkan, tetapi Tesseract dapat diproyeksikan ke dalam ruang dua dimensi atau tiga dimensi. Selain itu, memproyeksikan ke bidang memudahkan untuk memahami lokasi simpul hypercube. Dengan cara ini, dimungkinkan untuk memperoleh gambar yang tidak lagi mencerminkan hubungan spasial dalam tesseract, tetapi menggambarkan struktur koneksi titik, seperti pada contoh berikut:


Ke ruang tiga dimensi

Proyeksi tesseract ke ruang tiga dimensi mewakili dua kubus tiga dimensi yang bersarang, simpul-simpul yang bersesuaian dihubungkan oleh segmen. Kubus bagian dalam dan luar mempunyai ukuran yang berbeda dalam ruang tiga dimensi, tetapi dalam ruang empat dimensi memang demikian kubus yang sama. Untuk memahami kesetaraan semua kubus Tesseract, model Tesseract yang berputar telah dibuat.


Enam piramida terpotong di sepanjang tepi tesseract adalah gambar enam kubus yang sama besarnya.
Pasangan stereo

Sepasang stereo tesseract digambarkan sebagai dua proyeksi ke ruang tiga dimensi. Gambar Tesseract ini dirancang untuk mewakili kedalaman sebagai dimensi keempat. Pasangan stereo dilihat sehingga setiap mata hanya melihat satu dari gambar-gambar ini, gambar stereoskopis muncul yang mereproduksi kedalaman tesseract.

Tesseract membuka bungkusnya

Permukaan tesseract dapat dibentangkan menjadi delapan kubus (mirip dengan bagaimana permukaan kubus dapat dibentangkan menjadi enam kotak). Ada 261 desain Tesseract yang berbeda. Pembukaan tesseract dapat dihitung dengan memplot sudut-sudut yang terhubung pada grafik.

Tesseract dalam seni

Dalam "New Abbott Plain" karya Edwina A., hypercube bertindak sebagai narator.
Dalam salah satu episode Petualangan Jimmy Neutron: "Boy Genius", Jimmy menciptakan hypercube empat dimensi yang identik dengan kotak lipat dari novel Glory Road karya Heinlein tahun 1963.
Robert E. Heinlein telah menyebutkan hypercubes setidaknya dalam tiga cerita fiksi ilmiah. Dalam Rumah Empat Dimensi (Rumah yang Dibangun Teal) (1940), ia menggambarkan sebuah rumah yang dibangun seperti tesseract yang tidak terbungkus.
Novel Glory Road karya Heinlein menggambarkan hidangan berukuran sangat besar yang bagian dalamnya lebih besar daripada bagian luarnya.
Kisah Henry Kuttner "Mimsy Were the Borogoves" menggambarkan mainan edukatif untuk anak-anak dari masa depan yang jauh, strukturnya mirip dengan tesseract.
Dalam novel karya Alex Garland (1999), istilah "tesseract" digunakan untuk pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi, bukan hypercube itu sendiri. Ini adalah metafora yang dirancang untuk menunjukkan bahwa sistem kognitif harus lebih luas dari apa yang dapat diketahui.
Plot Cube 2: Hypercube berpusat pada delapan orang asing yang terperangkap dalam "hypercube", atau jaringan kubus yang terhubung.
Serial televisi Andromeda menggunakan generator tesseract sebagai perangkat plot. Mereka terutama dirancang untuk memanipulasi ruang dan waktu.
Lukisan “Penyaliban” (Corpus Hypercubus) oleh Salvador Dali (1954)
Buku komik Nextwave menggambarkan sebuah kendaraan yang mencakup 5 zona tesseract.
Di album Voivod Nothingface salah satu komposisinya berjudul "In my hypercube".
Dalam novel Route Cube karya Anthony Pearce, salah satu bulan yang mengorbit Asosiasi Pembangunan Internasional disebut tesseract yang telah dikompresi menjadi 3 dimensi.
Dalam serial "Sekolah" Lubang hitam“” di musim ketiga ada episode “Tesseract”. Lucas menekan tombol rahasia dan sekolah mulai berbentuk seperti tesseract matematika.
Istilah “tesseract” dan istilah turunannya “tesserate” ditemukan dalam cerita “A Wrinkle in Time” karya Madeleine L’Engle.


Jika kejadian yang tidak biasa terjadi pada Anda, Anda melihat makhluk aneh atau fenomena yang tidak dapat dipahami, Anda mengalami mimpi yang tidak biasa, Anda melihat UFO di langit atau menjadi korban penculikan alien, Anda dapat mengirimkan cerita Anda kepada kami dan itu akan dipublikasikan di situs web kami ===> .

Doktrin ruang multidimensi mulai muncul pada pertengahan abad ke-19. Ide ruang empat dimensi dipinjam dari para ilmuwan oleh penulis fiksi ilmiah. Dalam karyanya, mereka menceritakan kepada dunia tentang keajaiban menakjubkan dari dimensi keempat.

Para pahlawan karyanya, dengan memanfaatkan sifat ruang empat dimensi, dapat memakan isi telur tanpa merusak cangkangnya, dan meminum minuman tanpa membuka tutup botol. Para pencuri mengambil harta karun dari brankas melalui dimensi keempat. Ahli bedah melakukan operasi pada organ dalam tanpa memotong jaringan tubuh pasien.

Tesseract

Dalam geometri, hiperkubus adalah analogi berdimensi n dari persegi (n = 2) dan kubus (n = 3). Analog empat dimensi dari kubus 3 dimensi biasa kita dikenal sebagai tesseract. Tesseractnya terhadap kubus seperti halnya kubus terhadap persegi. Secara lebih formal, tesseract dapat digambarkan sebagai polihedron empat dimensi cembung beraturan yang batasnya terdiri dari delapan sel kubik.



Setiap pasang permukaan 3D yang tidak sejajar berpotongan membentuk permukaan 2D (persegi), dan seterusnya. Terakhir, tesseract memiliki 8 permukaan 3D, 24 permukaan 2D, 32 tepi, dan 16 simpul.
Ngomong-ngomong, menurut Kamus Oxford, kata tesseract diciptakan dan digunakan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton (1853-1907) dalam bukunya A New Age of Thought. Belakangan, beberapa orang menyebut gambar yang sama sebagai tetracube (Yunani tetra - empat) - kubus empat dimensi.



Konstruksi dan deskripsi

Mari kita coba bayangkan seperti apa bentuk hypercube tanpa meninggalkan ruang tiga dimensi.
Dalam "ruang" satu dimensi - pada sebuah garis - kita memilih segmen AB dengan panjang L. Pada bidang dua dimensi pada jarak L dari AB, kita menggambar segmen DC sejajar dengannya dan menghubungkan ujung-ujungnya. Hasilnya adalah CDBA persegi. Mengulangi operasi ini dengan bidang, kita memperoleh CDBAGHFE kubus tiga dimensi. Dan dengan menggeser kubus pada dimensi keempat (tegak lurus terhadap tiga dimensi pertama) sejauh L, kita mendapatkan hypercube CDBAGHFEKLJIOPNM.

Dengan cara yang sama, kita dapat melanjutkan penalaran kita tentang hypercube dengan jumlah dimensi yang lebih besar, namun jauh lebih menarik untuk melihat bagaimana hypercube empat dimensi akan terlihat bagi kita, penghuni ruang tiga dimensi.

Mari kita ambil kubus kawat ABCDHEFG dan melihatnya dengan satu mata dari sisi tepinya. Kita akan melihat dan dapat menggambar dua kotak pada bidang (tepi dekat dan jauhnya), dihubungkan oleh empat garis - tepi samping. Demikian pula, hypercube empat dimensi dalam ruang tiga dimensi akan terlihat seperti dua “kotak” kubik yang disisipkan satu sama lain dan dihubungkan oleh delapan sisi. Dalam hal ini, "kotak" itu sendiri - wajah tiga dimensi - akan diproyeksikan ke ruang "kita", dan garis yang menghubungkannya akan meregang ke arah sumbu keempat. Anda juga dapat mencoba membayangkan kubus bukan dalam proyeksi, tetapi dalam gambar spasial.


Sama seperti kubus tiga dimensi yang dibentuk oleh persegi yang digeser panjang sisinya, kubus yang digeser ke dimensi keempat akan membentuk hiperkubus. Itu dibatasi oleh delapan kubus, yang dalam perspektif akan terlihat seperti sosok yang agak rumit. Hypercube empat dimensi itu sendiri dapat dibagi menjadi kubus yang jumlahnya tak terhingga, sama seperti kubus tiga dimensi yang dapat “dipotong” menjadi kotak datar yang jumlahnya tak terhingga.

Dengan memotong enam sisi kubus tiga dimensi, Anda dapat menguraikannya menjadi bangun datar - sebuah pengembangan. Ini akan memiliki persegi di setiap sisi wajah aslinya ditambah satu lagi - wajah yang berlawanan dengannya. Dan pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi akan terdiri dari kubus asli, enam kubus yang “tumbuh” darinya, ditambah satu lagi - “hyperface” terakhir.



Hypercube dalam seni

Tesseract adalah sosok yang sangat menarik sehingga berulang kali menarik perhatian para penulis dan pembuat film.
Robert E. Heinlein menyebutkan hypercubes beberapa kali. Dalam The House That Teal Built (1940), ia menggambarkan sebuah rumah yang dibangun sebagai tesseract yang tidak terbungkus dan kemudian, akibat gempa bumi, "dilipat" dalam dimensi keempat menjadi tesseract yang "nyata". Novel Glory Road karya Heinlein menggambarkan sebuah kotak berukuran sangat besar yang bagian dalamnya lebih besar daripada bagian luarnya.

Kisah Henry Kuttner "All Tenali Borogov" menggambarkan mainan edukatif untuk anak-anak dari masa depan yang jauh, strukturnya mirip dengan tesseract.

Plot Cube 2: Hypercube berpusat pada delapan orang asing yang terperangkap dalam "hypercube", atau jaringan kubus yang terhubung.

Dunia paralel

Abstraksi matematika memunculkan gagasan tentang keberadaan dunia paralel. Hal ini dipahami sebagai realitas yang ada bersamaan dengan realitas kita, namun independen dari realitas tersebut. Dunia paralel dapat memiliki ukuran yang berbeda-beda: dari wilayah geografis yang kecil hingga seluruh alam semesta. Di dunia paralel, peristiwa terjadi dengan caranya sendiri; mungkin berbeda dari dunia kita, baik dalam detail individu maupun dalam hampir semua hal. Terlebih lagi, hukum fisika dunia paralel belum tentu sama dengan hukum alam semesta kita.

Topik ini merupakan lahan subur bagi para penulis fiksi ilmiah.

Lukisan Salvador Dali "Penyaliban" menggambarkan sebuah tesseract. “Penyaliban atau Tubuh Hiperkubik” adalah lukisan karya seniman Spanyol Salvador Dali, yang dilukis pada tahun 1954. Menggambarkan Yesus Kristus yang disalibkan pada pemindaian tesseract. Lukisan itu disimpan di Metropolitan Museum of Art di New York

Semuanya dimulai pada tahun 1895, ketika H.G. Wells, dengan ceritanya “The Door in the Wall,” membuka keberadaan dunia paralel ke dalam fiksi ilmiah. Pada tahun 1923, Wells kembali ke gagasan dunia paralel dan menempatkan di salah satunya sebuah negara utopis tempat karakter dalam novel Men Like Gods pergi.

Novel ini tidak luput dari perhatian. Pada tahun 1926, cerita G. Dent “Kaisar Negara “Jika”” muncul untuk pertama kalinya dalam cerita Dent, muncul gagasan bahwa mungkin ada negara (dunia) yang sejarahnya bisa berbeda dari sejarah negara sebenarnya. di dunia kita. Dan dunia ini tidak kalah nyatanya dengan dunia kita.

Pada tahun 1944, Jorge Luis Borges menerbitkan cerita “The Garden of Forking Paths” dalam bukunya Fictional Stories. Di sini gagasan percabangan waktu akhirnya diungkapkan dengan sangat jelas.
Terlepas dari kemunculan karya-karya yang tercantum di atas, gagasan tentang banyak dunia mulai berkembang secara serius dalam fiksi ilmiah hanya pada akhir empat puluhan abad ke-20, kira-kira pada saat yang sama ketika gagasan serupa muncul dalam fisika.

Salah satu pelopor arah baru dalam fiksi ilmiah adalah John Bixby, yang mengemukakan dalam cerita “One Way Street” (1954) bahwa antar dunia Anda hanya dapat bergerak dalam satu arah - begitu Anda berpindah dari dunia Anda ke dunia paralel, Anda tidak akan kembali, tetapi Anda akan berpindah dari satu dunia ke dunia berikutnya. Namun, kembali ke dunianya sendiri juga tidak dikecualikan - untuk ini sistem dunia perlu ditutup.

Novel Clifford Simak, A Ring Around the Sun (1982) menggambarkan banyak planet Bumi, masing-masing ada di dunianya sendiri, tetapi dalam orbit yang sama, dan dunia-dunia ini serta planet-planet ini berbeda satu sama lain hanya dengan sedikit pergeseran waktu (mikrodetik). Banyaknya Bumi yang dikunjungi oleh pahlawan dalam bentuk novel sistem terpadu dunia.

Alfred Bester mengungkapkan pandangan menarik tentang percabangan dunia dalam ceritanya “The Man Who Killed Mohammed” (1958). “Dengan mengubah masa lalu,” sang pahlawan dalam cerita tersebut berpendapat, “Anda hanya mengubahnya untuk diri Anda sendiri.” Dengan kata lain, setelah terjadi perubahan di masa lalu, timbullah suatu cabang sejarah yang di dalamnya hanya bagi tokoh yang melakukan perubahan itulah perubahan itu ada.

Kisah Strugatsky bersaudara "Monday Begins on Saturday" (1962) menggambarkan perjalanan para karakter ke varian yang berbeda masa depan yang digambarkan oleh para penulis fiksi ilmiah - berbeda dengan perjalanan ke berbagai versi masa lalu yang sudah ada dalam fiksi ilmiah.

Namun, bahkan membuat daftar sederhana semua karya yang menyentuh tema dunia paralel akan memakan banyak waktu. Dan meskipun penulis fiksi ilmiah, pada umumnya, tidak secara ilmiah mendukung postulat multidimensi, mereka benar tentang satu hal - ini adalah hipotesis yang berhak untuk ada.
Dimensi keempat Tesseract masih menunggu untuk kita kunjungi.

Victor Savinov


Bakalyar Maria

Metode pengenalan konsep kubus empat dimensi (tesseract), strukturnya dan beberapa sifat dipelajari. Pertanyaan tentang benda tiga dimensi apa yang diperoleh ketika kubus empat dimensi dipotong oleh bidang hiper yang sejajar dengan permukaan tiga dimensinya. , serta hyperplanes yang tegak lurus terhadap diagonal utamanya ditangani. Peralatan geometri analitik multidimensi yang digunakan untuk penelitian dipertimbangkan.

Unduh:

Pratinjau:

Pendahuluan………………………………………………………………………………….2

Bagian Utama……………………………………………………………..4

Kesimpulan……….. ………………………………………………………..12

Referensi…………………………………………………..13

Perkenalan

Ruang empat dimensi telah lama menarik perhatian para ahli matematika profesional dan orang-orang yang jauh dari mempelajari ilmu ini. Ketertarikan pada dimensi keempat mungkin disebabkan oleh asumsi bahwa dunia tiga dimensi kita “dibenamkan” dalam ruang empat dimensi, seperti halnya sebuah bidang “dibenamkan” dalam ruang tiga dimensi, garis lurus “dibenamkan” dalam ruang. bidang, dan suatu titik berada pada garis lurus. Selain itu, ruang empat dimensi memainkan peran penting dalam teori modern relativitas (yang disebut ruang-waktu atau ruang Minkowski), dan juga dapat dianggap sebagai kasus khususruang Euclidean dimensi (dengan).

Kubus empat dimensi (tesseract) adalah suatu benda dalam ruang empat dimensi yang mempunyai dimensi maksimum yang mungkin (seperti halnya kubus biasa adalah benda dalam ruang tiga dimensi). Perhatikan bahwa hal ini juga menarik, yaitu dapat muncul dalam masalah optimasi program linier (sebagai area di mana nilai minimum atau maksimum dicari). fungsi linear empat variabel), dan juga digunakan dalam mikroelektronika digital (saat memprogram tampilan jam tangan elektronik). Selain itu, proses mempelajari kubus empat dimensi berkontribusi pada pengembangan pemikiran spasial dan imajinasi.

Oleh karena itu, kajian tentang struktur dan sifat spesifik kubus empat dimensi menjadi cukup relevan. Perlu dicatat bahwa dalam hal struktur, kubus empat dimensi telah dipelajari dengan cukup baik. Yang jauh lebih menarik adalah sifat bagian-bagiannya oleh berbagai hyperplanes. Dengan demikian, tujuan utama dari pekerjaan ini adalah untuk mempelajari struktur tesseract, serta untuk memperjelas pertanyaan tentang objek tiga dimensi apa yang akan diperoleh jika kubus empat dimensi dibedah oleh bidang hiper yang sejajar dengan salah satu dari tiga dimensi tersebut. permukaan berdimensi, atau bidang hiper yang tegak lurus terhadap diagonal utamanya. Sebuah hyperplane dalam ruang empat dimensi disebut subruang tiga dimensi. Dapat dikatakan bahwa garis lurus pada suatu bidang adalah bidang hiper satu dimensi, bidang dalam ruang tiga dimensi adalah bidang hiper dua dimensi.

Tujuannya menentukan tujuan penelitian:

1) Mempelajari fakta dasar geometri analitik multidimensi;

2) Mempelajari ciri-ciri pembuatan kubus berdimensi 0 sampai 3;

3) Mempelajari struktur kubus empat dimensi;

4) Mendeskripsikan kubus empat dimensi secara analitik dan geometris;

5) Membuat model perkembangan dan proyeksi sentral kubus tiga dimensi dan empat dimensi.

6) Dengan menggunakan peralatan geometri analitik multidimensi, gambarkan benda tiga dimensi yang dihasilkan dari perpotongan kubus empat dimensi dengan bidang hiper yang sejajar dengan salah satu permukaan tiga dimensinya, atau bidang hiper yang tegak lurus diagonal utamanya.

Informasi yang diperoleh dengan cara ini akan memungkinkan kita untuk lebih memahami struktur tesseract, serta mengidentifikasi analogi mendalam dalam struktur dan sifat kubus dengan dimensi berbeda.

Bagian utama

Pertama, kami menjelaskan peralatan matematika yang akan kami gunakan selama penelitian ini.

1) Koordinat vektor: jika, Itu

2) Persamaan hyperplane dengan vektor normal sepertinya Di Sini

3) Pesawat dan sejajar jika dan hanya jika

4) Jarak antara dua titik ditentukan sebagai berikut: jika, Itu

5) Kondisi ortogonalitas vektor:

Pertama-tama, mari kita cari tahu cara mendeskripsikan kubus empat dimensi. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara - geometris dan analitis.

Jika kita berbicara tentang metode penentuan geometri, maka disarankan untuk menelusuri proses pembuatan kubus, mulai dari dimensi nol. Kubus berdimensi nol adalah sebuah titik (perhatikan bahwa titik juga dapat berperan sebagai bola berdimensi nol). Selanjutnya, kita perkenalkan dimensi pertama (sumbu x) dan pada sumbu yang sesuai kita tandai dua titik (dua kubus berdimensi nol) yang terletak pada jarak 1 satu sama lain. Hasilnya adalah sebuah segmen - kubus satu dimensi. Mari kita segera perhatikan ciri khasnya: Batas (ujung) kubus (ruas) satu dimensi adalah dua kubus berdimensi nol (dua titik). Selanjutnya, kita perkenalkan dimensi kedua (sumbu ordinat) dan pada bidangmari kita buat dua kubus satu dimensi (dua ruas), yang ujung-ujungnya berjarak 1 satu sama lain (sebenarnya, salah satu ruasnya adalah proyeksi ortogonal lain). Dengan menghubungkan ujung-ujung segmen yang bersesuaian, kita memperoleh persegi - kubus dua dimensi. Sekali lagi, perhatikan bahwa batas kubus dua dimensi (persegi) adalah empat kubus satu dimensi (empat ruas). Terakhir, kami memperkenalkan dimensi ketiga (menerapkan sumbu) dan membangun ruangdua persegi sedemikian rupa sehingga salah satunya merupakan proyeksi ortogonal dari yang lain (simpul-simpul persegi yang bersesuaian berada pada jarak 1 satu sama lain). Mari kita hubungkan simpul yang sesuai dengan segmen - kita mendapatkan kubus tiga dimensi. Kita melihat bahwa batas kubus tiga dimensi adalah enam kubus dua dimensi (enam persegi). Konstruksi yang dijelaskan memungkinkan kita mengidentifikasi pola berikut: pada setiap langkahkubus dimensional “bergerak, meninggalkan jejak” di dalamnyae pengukuran pada jarak 1, sedangkan arah geraknya tegak lurus kubus. Kelanjutan formal dari proses inilah yang memungkinkan kita sampai pada konsep kubus empat dimensi. Yaitu, kita akan memaksa kubus tiga dimensi untuk bergerak searah dengan dimensi keempat (tegak lurus terhadap kubus) dengan jarak 1. Bertindak serupa dengan yang sebelumnya, yaitu dengan menghubungkan simpul-simpul kubus yang bersesuaian, kita akan mendapatkan kubus empat dimensi. Perlu dicatat bahwa secara geometris konstruksi seperti itu di ruang kita tidak mungkin (karena ini tiga dimensi), tetapi di sini kita tidak menemui kontradiksi apa pun dari sudut pandang logis. Sekarang mari kita beralih ke deskripsi analitis kubus empat dimensi. Itu juga diperoleh secara formal, dengan menggunakan analogi. Jadi, spesifikasi analitik kubus satuan berdimensi nol berbentuk:

Tugas analitis kubus satuan satu dimensi berbentuk:

Tugas analitis kubus satuan dua dimensi berbentuk:

Tugas analitis kubus satuan tiga dimensi berbentuk:

Sekarang sangat mudah untuk memberikan representasi analitik dari kubus empat dimensi, yaitu:

Seperti yang bisa kita lihat, baik metode geometris maupun analitik dalam mendefinisikan kubus empat dimensi menggunakan metode analogi.

Sekarang, dengan menggunakan peralatan geometri analitik, kita akan mengetahui apa itu struktur kubus empat dimensi. Pertama, mari kita cari tahu elemen apa saja yang termasuk di dalamnya. Di sini sekali lagi kita dapat menggunakan analogi (untuk mengajukan hipotesis). Batas-batas kubus satu dimensi adalah titik (kubus nol dimensi), kubus dua dimensi - segmen (kubus satu dimensi), kubus tiga dimensi - persegi (wajah dua dimensi). Dapat diasumsikan bahwa batas tesseract adalah kubus tiga dimensi. Untuk membuktikannya, mari kita perjelas apa yang dimaksud dengan simpul, tepi, dan permukaan. Titik sudut suatu kubus adalah titik sudutnya. Artinya, koordinat titik bisa nol atau satu. Dengan demikian, ditemukan hubungan antara dimensi kubus dan jumlah simpulnya. Mari kita terapkan aturan perkalian kombinatorial - sejak titik puncakkubus yang diukur memiliki tepatkoordinat yang masing-masing sama dengan nol atau satu (tidak bergantung pada yang lain), maka totalnya adapuncak Jadi, untuk setiap titik, semua koordinatnya tetap dan bisa sama atau . Jika kita menetapkan semua koordinat (menempatkan masing-masing koordinat sama atau , terlepas dari yang lain), kecuali satu, kita memperoleh garis lurus yang memuat rusuk-rusuk kubus. Mirip dengan yang sebelumnya, Anda dapat menghitung pastinya adahal-hal. Dan jika sekarang kita memperbaiki semua koordinatnya (menempatkan masing-masing koordinat sama atau , terlepas dari yang lain), kecuali dua, kita memperoleh bidang yang berisi permukaan dua dimensi kubus. Dengan menggunakan aturan kombinatorik, kami menemukan bahwa ada persisnyahal-hal. Selanjutnya, dengan cara yang sama - memperbaiki semua koordinat (menempatkan masing-masing koordinat sama atau , terlepas dari yang lain), kecuali tiga, kita memperoleh bidang hiper yang berisi permukaan kubus tiga dimensi. Dengan menggunakan aturan yang sama, kami menghitung jumlahnya - tepatnyadll. Ini akan cukup untuk penelitian kami. Mari kita terapkan hasil yang diperoleh pada struktur kubus empat dimensi, yaitu pada semua rumus turunan yang kita masukkan. Jadi, kubus empat dimensi mempunyai: 16 titik sudut, 32 sisi, 24 sisi dua dimensi, dan 8 sisi tiga dimensi. Untuk lebih jelasnya, mari kita definisikan secara analitis semua elemennya.

Titik sudut kubus empat dimensi:

Tepi kubus empat dimensi ():

Wajah dua dimensi dari kubus empat dimensi (pembatasan serupa):

Wajah tiga dimensi kubus empat dimensi (pembatasan serupa):

Sekarang struktur kubus empat dimensi dan metode pendefinisiannya telah dijelaskan dengan cukup rinci, mari kita lanjutkan ke implementasi tujuan utama - untuk memperjelas sifat berbagai bagian kubus. Mari kita mulai dengan kasus dasar ketika bagian-bagian kubus sejajar dengan salah satu permukaan tiga dimensinya. Misalnya, pertimbangkan bagiannya dengan hyperplanes yang sejajar dengan wajahnyaDiketahui dari geometri analitik bahwa setiap bagian tersebut akan diberikan oleh persamaanMari kita definisikan bagian terkait secara analitis:

Seperti yang dapat kita lihat, kita telah memperoleh spesifikasi analitik untuk kubus satuan tiga dimensi yang terletak pada bidang hiper

Untuk membuat analogi, mari kita tuliskan bagian kubus tiga dimensi dengan sebuah bidang Kita mendapatkan:

Ini adalah persegi yang terletak di dalam pesawat. Analoginya jelas.

Bagian kubus empat dimensi menurut bidang hipermemberikan hasil yang sangat mirip. Ini juga akan berupa kubus tiga dimensi tunggal yang terletak di bidang hiper masing-masing.

Sekarang mari kita perhatikan bagian kubus empat dimensi dengan bidang hiper yang tegak lurus terhadap diagonal utamanya. Pertama, mari kita selesaikan soal ini untuk kubus tiga dimensi. Dengan menggunakan metode yang dijelaskan di atas untuk mendefinisikan kubus satuan tiga dimensi, ia menyimpulkan bahwa sebagai diagonal utama dapat diambil, misalnya, sebuah segmen dengan ujung-ujungnya. Dan . Artinya vektor diagonal utama akan memiliki koordinat. Oleh karena itu, persamaan bidang apa pun yang tegak lurus diagonal utama adalah:

Mari kita tentukan batas perubahan parameter. Karena , kemudian, dengan menjumlahkan pertidaksamaan ini suku demi suku, kita memperoleh:

Atau .

Jika kemudian (karena pembatasan). Demikian pula - jika, Itu . Jadi, kapan dan kapan bidang potong dan kubus mempunyai tepat satu titik persekutuan ( Dan masing-masing). Sekarang mari kita perhatikan hal berikut. Jika(sekali lagi karena keterbatasan variabel). Bidang-bidang yang bersesuaian memotong tiga muka sekaligus, karena jika tidak, bidang potong akan sejajar dengan salah satunya, yang tidak terjadi sesuai dengan kondisi. Jika, maka bidang tersebut memotong semua permukaan kubus. Jika, lalu bidang tersebut memotong permukaannya. Mari kita sajikan perhitungan yang sesuai.

Membiarkan Lalu pesawatmelewati batas dalam garis lurus, dan . Terlebih lagi, bagian tepinya. Tepian bidang tersebut berpotongan pada suatu garis lurus, Dan

Membiarkan Lalu pesawatmelewati batas:

tepi dalam garis lurus, dan .

tepi dalam garis lurus, dan .

tepi dalam garis lurus, dan .

tepi dalam garis lurus, dan .

tepi dalam garis lurus, dan .

tepi dalam garis lurus, dan .

Kali ini kita mendapatkan enam segmen yang memiliki tujuan yang sama secara berurutan:

Membiarkan Lalu pesawatmelewati batas dalam garis lurus, dan . Tepian bidang tersebut berpotongan pada suatu garis lurus, Dan . Tepian bidang tersebut berpotongan pada suatu garis lurus, Dan . Artinya, kita mendapatkan tiga segmen yang memiliki ujung yang sama berpasangan:Jadi, untuk nilai parameter yang ditentukanpesawat akan memotong kubus sepanjang segitiga beraturan dengan titik sudut

Nah, berikut adalah uraian lengkap mengenai bangun datar yang diperoleh jika sebuah kubus dipotong oleh bidang yang tegak lurus diagonal utamanya. Ide utamanya adalah sebagai berikut. Penting untuk memahami permukaan mana yang berpotongan dengan bidang tersebut, di sepanjang himpunan mana ia memotongnya, dan bagaimana himpunan ini saling berhubungan. Misalnya, jika ternyata sebuah bidang memotong tepat tiga sisi sepanjang ruas-ruas yang mempunyai ujung-ujung yang sama berpasangan, maka bagian tersebut adalah segitiga sama sisi (dibuktikan dengan menghitung langsung panjang ruas-ruas tersebut), yang titik sudutnya adalah ujung-ujungnya. dari segmen-segmen tersebut.

Dengan menggunakan peralatan yang sama dan gagasan yang sama dalam mempelajari bagian-bagian, fakta-fakta berikut dapat disimpulkan dengan cara yang sepenuhnya analog:

1) Vektor salah satu diagonal utama kubus satuan empat dimensi mempunyai koordinat

2) Setiap bidang hiper yang tegak lurus diagonal utama kubus empat dimensi dapat dituliskan dalam bentuk.

3) Dalam persamaan hyperplane garis potong, parameternyadapat bervariasi dari 0 hingga 4;

4) Kapan dan hyperplane garis potong dan kubus empat dimensi memiliki satu titik yang sama ( Dan masing-masing);

5) Kapan penampang akan menghasilkan tetrahedron biasa;

6) Kapan pada penampang hasilnya akan berbentuk segi delapan;

7) Kapan penampang akan menghasilkan tetrahedron biasa.

Oleh karena itu, di sini hyperplane memotong tesseract di sepanjang bidang di mana, karena keterbatasan variabel, daerah segitiga dibedakan (analoginya - bidang memotong kubus sepanjang garis lurus, di mana, karena keterbatasan dari variabel, segmen dibedakan). Dalam kasus 5) hyperplane memotong tepat empat permukaan tiga dimensi tesseract, yaitu diperoleh empat segitiga yang memiliki sisi-sisi yang sama berpasangan, dengan kata lain membentuk tetrahedron (cara menghitungnya sudah benar). Dalam kasus 6), hyperplane memotong tepat delapan permukaan tiga dimensi tesseract, yaitu diperoleh delapan segitiga yang memiliki sisi-sisi yang berurutan, dengan kata lain membentuk segi delapan. Kasus 7) sangat mirip dengan kasus 5).

Mari kita ilustrasikan hal ini dengan contoh spesifik. Yaitu, kita mempelajari bagian kubus empat dimensi dengan hyperplaneKarena batasan variabel, hyperplane ini memotong permukaan tiga dimensi berikut: Tepian berpotongan sepanjang bidangKarena keterbatasan variabel, kami memiliki:Kami mendapatkan area segitiga dengan simpulLebih jauh,kita mendapatkan segitigaKetika sebuah hyperplane memotong sebuah wajahkita mendapatkan segitigaKetika sebuah hyperplane memotong sebuah wajahkita mendapatkan segitigaJadi, simpul-simpul tetrahedron mempunyai koordinat sebagai berikut. Seperti yang mudah untuk dihitung, tetrahedron ini memang beraturan.

kesimpulan

Jadi, dalam proses penelitian ini, dipelajari fakta-fakta dasar geometri analitik multidimensi, dipelajari ciri-ciri konstruksi kubus berdimensi 0 sampai 3, dipelajari struktur kubus empat dimensi, kubus empat dimensi dipelajari. dideskripsikan secara analitis dan geometris, dibuat model perkembangan dan proyeksi sentral kubus tiga dimensi dan empat dimensi, kubus tiga dimensi adalah benda-benda yang dideskripsikan secara analitis hasil perpotongan kubus empat dimensi dengan bidang-bidang hiper yang sejajar dengan salah satu bidang tiganya. permukaan berdimensi, atau dengan bidang hiper yang tegak lurus terhadap diagonal utamanya.

Penelitian yang dilakukan memungkinkan untuk mengidentifikasi analogi mendalam dalam struktur dan sifat kubus dengan dimensi berbeda. Teknik analogi yang digunakan dapat diterapkan dalam penelitian, misalnya sajabola dimensi atausimpleks dimensi. Yaitu,bola dimensi dapat didefinisikan sebagai sekumpulan titikruang dimensi yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat bola. Lebih jauh,simpleks dimensi dapat didefinisikan sebagai bagianruang dimensi dibatasi oleh angka minimumpesawat hiper dimensi. Misalnya, simpleks satu dimensi adalah suatu ruas (bagian dari ruang satu dimensi yang dibatasi oleh dua titik), simpleks dua dimensi adalah segitiga (bagian dari ruang dua dimensi yang dibatasi oleh tiga garis), a Simpleks tiga dimensi adalah tetrahedron (bagian dari ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh empat bidang). Akhirnya,kita mendefinisikan simpleks dimensi sebagai bagianruang dimensi, terbatashyperplane dimensi.

Perlu dicatat bahwa, meskipun tesseract banyak diterapkan di beberapa bidang sains, penelitian ini sebagian besar masih merupakan studi matematika.

Bibliografi

1) Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M.Matematika Tinggi, jilid 1 – M.: Bustard, 2005 – 284 hal.

2) Kuantum. Kubus empat dimensi / Duzhin S., Rubtsov V., No.6, 1986.

3) Kuantum. Cara menggambar kubus dimensi / Demidovich N.B., No.8, 1974.

Segera setelah saya bisa memberikan ceramah setelah operasi, pertanyaan pertama yang diajukan mahasiswa adalah:

Kapan Anda akan menggambar kubus 4 dimensi untuk kami? Ilyas Abdulkhaevich berjanji kepada kita!

Saya ingat teman-teman tersayang terkadang menyukai momen kegiatan pendidikan matematika. Oleh karena itu, saya akan menulis sebagian kuliah saya untuk ahli matematika di sini. Dan saya akan mencobanya tanpa merasa bosan. Tentu saja, di beberapa titik saya membaca ceramah dengan lebih ketat.

Mari kita sepakati terlebih dahulu. Ruang 4 dimensi, dan terlebih lagi 5-6-7- dan umumnya k-dimensi tidak diberikan kepada kita dalam sensasi indrawi.
“Kami malang karena kami hanya tiga dimensi,” seperti yang dikatakan guru Sekolah Minggu saya, yang pertama kali memberi tahu saya apa itu kubus 4 dimensi. Sekolah Minggu, tentu saja, sangat religius - matematis. Saat itu kami sedang mempelajari hiper-kubus. Seminggu sebelumnya, induksi matematika, seminggu setelah itu, siklus Hamilton dalam grafik - karenanya, ini adalah kelas 7.

Kita tidak bisa menyentuh, mencium, mendengar atau melihat kubus 4 dimensi. Apa yang bisa kita lakukan dengannya? Kita bisa membayangkannya! Karena otak kita jauh lebih kompleks daripada mata dan tangan kita.

Jadi, untuk memahami apa itu kubus 4 dimensi, pertama-tama mari kita pahami apa saja yang tersedia bagi kita. Apa itu kubus 3 dimensi?

Oke oke! Saya tidak meminta Anda memberikan definisi matematis yang jelas. Bayangkan saja kubus tiga dimensi paling sederhana dan biasa. Diperkenalkan?

Bagus.
Untuk memahami cara menggeneralisasi kubus 3 dimensi menjadi ruang 4 dimensi, mari kita pahami apa itu kubus 2 dimensi. Ini sangat sederhana - itu persegi!

Sebuah persegi mempunyai 2 koordinat. Kubus memiliki tiga. Titik persegi adalah titik yang mempunyai dua koordinat. Yang pertama dari 0 sampai 1. Dan yang kedua dari 0 sampai 1. Titik-titik kubus mempunyai tiga koordinat. Dan masing-masing adalah angka apa pun dari 0 hingga 1.

Masuk akal untuk membayangkan kubus 4 dimensi adalah benda yang memiliki 4 koordinat dan semuanya dari 0 hingga 1.

/* Sangat logis untuk membayangkan sebuah kubus 1 dimensi, yang tidak lebih dari sebuah segmen sederhana dari 0 hingga 1. */

Jadi tunggu dulu, bagaimana cara menggambar kubus 4 dimensi? Lagi pula, kita tidak bisa menggambar ruang 4 dimensi di pesawat!
Tapi kita juga tidak menggambar ruang 3 dimensi pada sebuah bidang, kita menggambarnya proyeksi ke bidang gambar 2 dimensi. Kita letakkan koordinat ketiga (z) pada suatu sudut, bayangkan sumbu dari bidang gambar mengarah “ke arah kita”.

Sekarang sudah jelas cara menggambar kubus 4 dimensi. Dengan cara yang sama seperti kita memposisikan sumbu ketiga pada sudut tertentu, mari kita ambil sumbu keempat dan juga memposisikannya pada sudut tertentu.
Dan - voila! -- proyeksi kubus 4 dimensi ke bidang datar.

Apa? Apa ini sebenarnya? Saya selalu mendengar bisikan dari meja belakang. Izinkan saya menjelaskan lebih detail apa yang dimaksud dengan garis campur aduk ini.
Perhatikan dulu kubus tiga dimensi. Apa yang telah kita lakukan? Kami mengambil persegi dan menyeretnya sepanjang sumbu ketiga (z). Ini seperti banyak sekali kotak kertas yang direkatkan dalam satu tumpukan.
Sama halnya dengan kubus 4 dimensi. Mari kita sebut sumbu keempat, demi kenyamanan dan fiksi ilmiah, sebagai “sumbu waktu”. Kita perlu mengambil kubus tiga dimensi biasa dan menyeretnya melintasi waktu dari waktu “sekarang” ke waktu “satu jam lagi”.

Kami memiliki kubus "sekarang". Di gambar warnanya merah jambu.

Dan sekarang kita menyeretnya sepanjang sumbu keempat - sepanjang sumbu waktu (saya menunjukkannya dengan warna hijau). Dan kita mendapatkan kubus masa depan - biru.

Setiap simpul dari "kubus sekarang" meninggalkan jejak dalam waktu - sebuah segmen. Menghubungkan masa kini dengan masa depannya.

Singkatnya, tanpa lirik apa pun: kami menggambar dua kubus 3 dimensi yang identik dan menghubungkan simpul yang sesuai.
Persis sama seperti yang mereka lakukan dengan kubus 3 dimensi (gambar 2 kubus 2 dimensi yang identik dan hubungkan titik-titiknya).

Untuk menggambar kubus 5 dimensi, Anda harus menggambar dua salinan kubus 4 dimensi (kubus 4 dimensi dengan koordinat kelima 0 dan kubus 4 dimensi dengan koordinat kelima 1) dan menghubungkan simpul-simpul yang bersesuaian dengan tepinya. Benar, akan ada begitu banyak sisi di pesawat sehingga hampir mustahil untuk memahami apa pun.

Setelah kita membayangkan kubus 4 dimensi dan bahkan bisa menggambarnya, kita bisa menjelajahinya dengan berbagai cara. Ingatlah untuk menjelajahinya baik dalam pikiran Anda maupun dari gambar.
Misalnya. Sebuah kubus 2 dimensi dibatasi pada 4 sisinya oleh kubus 1 dimensi. Ini logis: untuk masing-masing dari 2 koordinat tersebut memiliki awal dan akhir.
Sebuah kubus 3 dimensi dibatasi pada 6 sisinya oleh kubus 2 dimensi. Untuk masing-masing dari ketiga koordinat tersebut memiliki awal dan akhir.
Artinya sebuah kubus 4 dimensi harus dibatasi oleh delapan kubus 3 dimensi. Untuk masing-masing dari 4 koordinat - di kedua sisi. Pada gambar di atas kita melihat dengan jelas 2 wajah yang membatasinya sepanjang koordinat “waktu”.

Berikut adalah dua kubus (agak miring karena memiliki 2 dimensi yang diproyeksikan ke bidang pada suatu sudut), membatasi hypercube kita di kiri dan kanan.

Juga mudah untuk melihat “atas” dan “bawah”.

Hal tersulitnya adalah memahami secara visual di mana letak “depan” dan “belakang”. Bagian depan dimulai dari tepi depan "kubus sekarang" dan ke tepi depan "kubus masa depan" - warnanya merah. Yang belakang berwarna ungu.

Mereka adalah yang paling sulit untuk diperhatikan karena kubus lain kusut di bawah kaki, sehingga membatasi hypercube pada proyeksi koordinat yang berbeda. Namun perlu diingat bahwa kubusnya masih berbeda! Ini lagi gambarnya, di mana “kubus masa kini” dan “kubus masa depan” disorot.

Tentu saja dimungkinkan untuk memproyeksikan kubus 4 dimensi ke dalam ruang 3 dimensi.
Model spasial pertama yang mungkin terlihat jelas: Anda perlu mengambil 2 bingkai kubus dan menghubungkan simpul yang sesuai dengan tepi baru.
Saya tidak memiliki stok model ini saat ini. Pada perkuliahan saya menunjukkan kepada siswa model 3 dimensi yang sedikit berbeda dari kubus 4 dimensi.

Anda tahu bagaimana sebuah kubus diproyeksikan ke bidang seperti ini.
Ini seperti kita sedang melihat sebuah kubus dari atas.

Tepi dekatnya, tentu saja, besar. Dan ujung yang jauh terlihat lebih kecil, kita melihatnya dari ujung yang dekat.

Beginilah cara memproyeksikan kubus 4 dimensi. Kubus sekarang lebih besar, kita melihat kubus masa depan di kejauhan, sehingga terlihat lebih kecil.

Di sisi lain. Dari sisi atas.

Tepatnya dari sisi tepi:

Dari sisi tulang rusuk:

Dan sudut terakhir, asimetris. Dari bagian “beri tahu saya bahwa saya melihat di antara tulang rusuknya”.

Nah, kalau begitu Anda bisa memikirkan apa saja. Misalnya saja seperti halnya pengembangan kubus 3 dimensi menjadi sebuah bidang (seperti menggunting selembar kertas sehingga bila dilipat menjadi kubus), demikian pula halnya dengan pengembangan kubus 4 dimensi menjadi ruang angkasa. Ibaratnya memotong sebatang kayu sehingga dengan melipatnya dalam ruang 4 dimensi kita mendapatkan tesseract.

Anda tidak hanya dapat mempelajari kubus 4 dimensi, tetapi kubus n dimensi secara umum. Misalnya, benarkah jari-jari bola yang dikelilingi kubus berdimensi n lebih kecil dari panjang rusuk kubus tersebut? Atau inilah pertanyaan yang lebih sederhana: berapa banyak simpul yang dimiliki kubus berdimensi n? Berapa banyak sisi (wajah 1 dimensi)?

Poin (±1, ±1, ±1, ±1). Dengan kata lain, dapat direpresentasikan sebagai himpunan berikut:

Tesseract dibatasi oleh delapan hyperplanes, yang perpotongannya dengan Tesseract itu sendiri menentukan wajah tiga dimensinya (yang merupakan kubus biasa). Setiap pasang permukaan 3D yang tidak sejajar berpotongan membentuk permukaan 2D (persegi), dan seterusnya. Terakhir, tesseract memiliki 8 permukaan 3D, 24 permukaan 2D, 32 tepi, dan 16 simpul.

Deskripsi populer

Mari kita coba bayangkan seperti apa bentuk hypercube tanpa meninggalkan ruang tiga dimensi.

Dalam "ruang" satu dimensi - pada sebuah garis - kita memilih segmen AB dengan panjang L. Pada bidang dua dimensi pada jarak L dari AB, kita menggambar segmen DC sejajar dengannya dan menghubungkan ujung-ujungnya. Hasilnya adalah CDBA persegi. Mengulangi operasi ini dengan bidang, kita memperoleh CDBAGHFE kubus tiga dimensi. Dan dengan menggeser kubus pada dimensi keempat (tegak lurus terhadap tiga dimensi pertama) sejauh L, kita mendapatkan hypercube CDBAGHFEKLJIOPNM.

Konstruksi tesseract di pesawat

Segmen satu dimensi AB berfungsi sebagai sisi persegi CDBA dua dimensi, persegi - sebagai sisi kubus CDBAGHFE, yang selanjutnya akan menjadi sisi hypercube empat dimensi. Ruas garis lurus mempunyai dua titik batas, persegi mempunyai empat titik sudut, dan kubus mempunyai delapan titik. Dalam hypercube empat dimensi, akan ada 16 simpul: 8 simpul dari kubus asal dan 8 simpul yang digeser pada dimensi keempat. Ia memiliki 32 sisi - 12 masing-masing memberikan posisi awal dan akhir kubus asli, dan 8 sisi lainnya "menggambar" delapan simpulnya, yang telah berpindah ke dimensi keempat. Alasan yang sama dapat dilakukan untuk wajah hypercube. Dalam ruang dua dimensi hanya ada satu (persegi itu sendiri), sebuah kubus memiliki 6 buah (dua sisi dari persegi yang dipindahkan dan empat lagi yang menggambarkan sisi-sisinya). Hypercube empat dimensi memiliki 24 sisi persegi - 12 kotak kubus asli di dua posisi dan 12 kotak dari dua belas tepinya.

Sebagaimana sisi-sisi suatu persegi berjumlah 4 ruas satu dimensi, dan sisi-sisi (wajah) sebuah kubus adalah 6 persegi dua dimensi, demikian pula untuk “kubus empat dimensi” (tesseract) sisi-sisinya adalah 8 kubus tiga dimensi. . Ruang-ruang dari pasangan kubus tesseract yang berlawanan (yaitu, ruang tiga dimensi di mana kubus-kubus tersebut berada) adalah sejajar. Pada gambar ini adalah kubus: CDBAGHFE dan KLJIOPNM, CDBAKLJI dan GHFEOPNM, EFBAMNJI dan GHDCOPLK, CKIAGOME dan DLJBHPNF.

Dengan cara yang sama, kita dapat melanjutkan penalaran kita tentang hypercube dengan jumlah dimensi yang lebih besar, namun jauh lebih menarik untuk melihat bagaimana hypercube empat dimensi akan terlihat bagi kita, penghuni ruang tiga dimensi. Untuk ini kita akan menggunakan metode analogi yang sudah dikenal.

Mari kita ambil kubus kawat ABCDHEFG dan melihatnya dengan satu mata dari sisi tepinya. Kita akan melihat dan dapat menggambar dua kotak pada bidang (tepi dekat dan jauhnya), dihubungkan oleh empat garis - tepi samping. Demikian pula, hypercube empat dimensi dalam ruang tiga dimensi akan terlihat seperti dua “kotak” kubik yang disisipkan satu sama lain dan dihubungkan oleh delapan sisi. Dalam hal ini, "kotak" itu sendiri - wajah tiga dimensi - akan diproyeksikan ke ruang "kita", dan garis yang menghubungkannya akan meregang ke arah sumbu keempat. Anda juga dapat mencoba membayangkan kubus bukan dalam proyeksi, tetapi dalam gambar spasial.

Sama seperti kubus tiga dimensi yang dibentuk oleh persegi yang digeser panjang sisinya, kubus yang digeser ke dimensi keempat akan membentuk hiperkubus. Itu dibatasi oleh delapan kubus, yang dalam perspektif akan terlihat seperti sosok yang agak rumit. Hypercube empat dimensi itu sendiri terdiri dari kubus yang jumlahnya tak terhingga, sama seperti kubus tiga dimensi yang dapat “dipotong” menjadi kotak datar yang jumlahnya tak terhingga.

Dengan memotong enam sisi kubus tiga dimensi, Anda dapat menguraikannya menjadi bangun datar - sebuah pengembangan. Ini akan memiliki persegi di setiap sisi wajah aslinya ditambah satu lagi - wajah yang berlawanan dengannya. Dan pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi akan terdiri dari kubus asli, enam kubus yang “tumbuh” darinya, ditambah satu lagi - “hyperface” terakhir.

Sifat-sifat tesseract merupakan kelanjutan dari sifat-sifat bangun geometri berdimensi lebih rendah ke dalam ruang empat dimensi.

Proyeksi

Ke ruang dua dimensi

Struktur ini sulit untuk dibayangkan, tetapi Tesseract dapat diproyeksikan ke dalam ruang dua dimensi atau tiga dimensi. Selain itu, memproyeksikan ke bidang memudahkan untuk memahami lokasi simpul hypercube. Dengan cara ini, dimungkinkan untuk memperoleh gambar yang tidak lagi mencerminkan hubungan spasial dalam tesseract, tetapi menggambarkan struktur koneksi titik, seperti pada contoh berikut:

Gambar ketiga menunjukkan tesseract dalam isometri, relatif terhadap titik konstruksi. Representasi ini menarik ketika menggunakan tesseract sebagai dasar jaringan topologi untuk menghubungkan beberapa prosesor dalam komputasi paralel.

Ke ruang tiga dimensi

Salah satu proyeksi tesseract ke ruang tiga dimensi mewakili dua kubus tiga dimensi yang bersarang, simpul-simpul yang bersesuaian dihubungkan oleh segmen. Kubus dalam dan kubus luar mempunyai ukuran yang berbeda dalam ruang tiga dimensi, tetapi dalam ruang empat dimensi keduanya adalah kubus yang sama besar. Untuk memahami kesetaraan semua kubus Tesseract, model Tesseract yang berputar telah dibuat.

  • Enam piramida terpotong di sepanjang tepi tesseract ada gambar enam kubus yang sama. Namun, kubus-kubus ini bagi sebuah tesser bertindak seperti persegi (wajah) bagi sebuah kubus. Namun pada kenyataannya, tesseract dapat dibagi menjadi kubus yang jumlahnya tak terhingga, sama seperti sebuah kubus dapat dibagi menjadi kotak yang jumlahnya tak terhingga, atau persegi menjadi segmen yang jumlahnya tak terhingga.

Proyeksi menarik lainnya dari tesseract ke ruang tiga dimensi adalah dodecahedron belah ketupat dengan empat diagonalnya yang menghubungkan pasangan simpul berlawanan pada sudut belah ketupat yang besar. Dalam hal ini, 14 dari 16 simpul tesseract diproyeksikan menjadi 14 simpul dari dodecahedron belah ketupat, dan proyeksi 2 sisanya bertepatan di tengahnya. Dalam proyeksi ke ruang tiga dimensi seperti itu, persamaan dan paralelisme semua sisi satu dimensi, dua dimensi, dan tiga dimensi dipertahankan.

Pasangan stereo

Sepasang stereo tesseract digambarkan sebagai dua proyeksi ke ruang tiga dimensi. Gambar Tesseract ini dirancang untuk mewakili kedalaman sebagai dimensi keempat. Pasangan stereo dilihat sehingga setiap mata hanya melihat satu dari gambar-gambar ini, gambar stereoskopis muncul yang mereproduksi kedalaman tesseract.

Tesseract membuka bungkusnya

Permukaan tesseract dapat dibentangkan menjadi delapan kubus (mirip dengan bagaimana permukaan kubus dapat dibentangkan menjadi enam kotak). Ada 261 desain Tesseract yang berbeda. Pembukaan tesseract dapat dihitung dengan memplot sudut-sudut yang terhubung pada grafik.

Tesseract dalam seni

  • Dalam "New Abbott Plain" karya Edwina A., hypercube bertindak sebagai narator.
  • Dalam salah satu episode Petualangan Jimmy Neutron, "anak jenius" Jimmy menciptakan hypercube empat dimensi yang identik dengan kotak lipat dari novel Glory Road (1963) karya Robert Heinlein.
  • Robert E. Heinlein telah menyebutkan hypercubes setidaknya dalam tiga cerita fiksi ilmiah. Dalam "Rumah Empat Dimensi" ("Rumah yang Dibangun Teal"), dia menggambarkan sebuah rumah yang dibangun sebagai tesseract yang tidak terbungkus, dan kemudian, karena gempa bumi, "terlipat" ke dimensi keempat dan menjadi tesseract yang "nyata". .
  • Novel Glory Road karya Heinlein menggambarkan sebuah kotak berukuran sangat besar yang bagian dalamnya lebih besar daripada bagian luarnya.
  • Kisah Henry Kuttner "All Tenali Borogov" menggambarkan mainan edukatif untuk anak-anak dari masa depan yang jauh, strukturnya mirip dengan tesseract.
  • Dalam novel karya Alex Garland (), istilah "tesseract" digunakan untuk pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi, bukan hypercube itu sendiri. Ini adalah metafora yang dirancang untuk menunjukkan bahwa sistem kognitif harus lebih luas dari apa yang dapat diketahui.
  • Plot Cube 2: Hypercube berpusat pada delapan orang asing yang terperangkap dalam "hypercube", atau jaringan kubus yang terhubung.
  • Serial televisi Andromeda menggunakan generator tesseract sebagai perangkat plot. Mereka terutama dirancang untuk memanipulasi ruang dan waktu.
  • Lukisan “Penyaliban” (Corpus Hypercubus) oleh Salvador Dali ().
  • Buku komik Nextwave menggambarkan sebuah kendaraan yang mencakup 5 zona tesseract.
  • Di album Voivod Nothingface salah satu komposisinya berjudul "In my hypercube".
  • Dalam novel Route Cube karya Anthony Pearce, salah satu bulan yang mengorbit Asosiasi Pembangunan Internasional disebut tesseract yang telah dikompresi menjadi 3 dimensi.
  • Pada serial “Black Hole School” musim ketiga terdapat episode “Tesseract”. Lucas menekan tombol rahasia dan sekolah mulai “berbentuk seperti tesseract matematika.”
  • Istilah “tesseract” dan turunannya “tesseract” ditemukan dalam cerita Madeleine L’Engle “A Wrinkle in Time.”
  • TesseracT adalah nama band djent asal Inggris.
  • Dalam serial film Marvel Cinematic Universe, Tesseract adalah elemen plot utama, artefak kosmik berbentuk hypercube.
  • Dalam cerita Robert Sheckley "Nona Tikus dan Dimensi Keempat", seorang penulis esoteris, seorang kenalan penulis, mencoba melihat tesseract dengan menatap berjam-jam pada perangkat yang ia rancang: sebuah bola berkaki dengan batang yang tertancap di dalamnya, di kubus mana yang dipasang, ditempel dengan segala macam simbol esoteris. Ceritanya menyebutkan karya Hinton.
  • Dalam film The First Avenger, The Avengers. Tesseract - energi seluruh alam semesta

Nama lain

  • Heksadekakoron Heksadekakoron)
  • Oktokoron (Bahasa Inggris) segi delapan)
  • Tetracube
  • 4-Kubus
  • Hypercube (jika jumlah dimensi tidak ditentukan)

Catatan

literatur

  • Charles H. Hinton. Dimensi Keempat, 1904. ISBN 0-405-07953-2
  • Martin Gardner, Karnaval Matematika, 1977. ISBN 0-394-72349-X
  • Ian Stewart, Konsep Matematika Modern, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Tautan

Dalam bahasa Rusia
  • Program Transformator4D. Pembentukan model proyeksi tiga dimensi objek empat dimensi (termasuk Hypercube).
  • Sebuah program yang mengimplementasikan konstruksi tesseract dan semua transformasi affinenya, dengan kode sumber dalam C++.

Dalam bahasa Inggris

  • Mushware Limited - program keluaran tesseract ( Pelatih Tesseract, lisensi yang kompatibel dengan GPLv2) dan penembak orang pertama dalam ruang empat dimensi ( Adanaxis; grafik sebagian besar berbentuk tiga dimensi; Ada versi GPL di repositori OS).