Piramida. Piramida terpotong

Piramida adalah polihedron yang salah satu wajahnya berbentuk poligon ( basis ), dan semua sisi lainnya adalah segitiga dengan titik sudut yang sama ( wajah samping ) (Gbr. 15). Piramida disebut benar , jika alasnya berbentuk poligon beraturan dan bagian atas limas diproyeksikan ke tengah alasnya (Gbr. 16). Piramida berbentuk segitiga yang semua rusuknya sama panjang disebut segi empat .

Tulang rusuk samping piramida adalah sisi sisi muka yang tidak termasuk alasnya Tinggi piramida adalah jarak dari puncaknya ke bidang alasnya. Semua sisi lateral limas beraturan adalah sama besar, semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama besar. Ketinggian sisi sisi limas beraturan yang ditarik dari puncaknya disebut apotema . Bagian diagonal disebut bagian piramida oleh sebuah bidang yang melalui dua sisi lateral yang tidak mempunyai sisi yang sama.

Luas permukaan lateral piramida adalah jumlah luas semua sisi sisinya. Luas permukaan total disebut jumlah luas semua sisi sisi dan alasnya.

Teorema

1. Jika dalam sebuah limas semua sisi lateralnya mempunyai kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncak limas tersebut diproyeksikan ke pusat lingkaran yang dibatasi di dekat alasnya.

2. Jika semua sisi sisi sebuah limas mempunyai panjang yang sama, maka puncak limas tersebut diproyeksikan ke pusat lingkaran yang dibatasi dekat alasnya.

3. Jika semua muka dalam sebuah limas memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncak limas tersebut diproyeksikan tepat pada pusat lingkaran yang terdapat pada alasnya.

Untuk menghitung volume limas sembarang, rumus yang benar adalah:

Di mana V- volume;

basis S– daerah pangkalan;

H– tinggi piramida.

Untuk piramida beraturan, rumus berikut ini benar:

Di mana P– keliling dasar;

ha– apotema;

H- tinggi;

S penuh

sisi S

basis S– daerah pangkalan;

V– volume piramida biasa.

Piramida terpotong disebut bagian piramida yang terletak di antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas limas (Gbr. 17). Piramida terpotong biasa adalah bagian dari limas beraturan yang diapit di antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas limas.

Alasan piramida terpotong - poligon serupa. Wajah samping – trapesium. Tinggi piramida terpotong adalah jarak antara alasnya. Diagonal piramida terpotong adalah ruas yang menghubungkan simpul-simpulnya yang tidak terletak pada satu sisi. Bagian diagonal adalah bagian dari piramida yang terpotong oleh sebuah bidang yang melalui dua rusuk lateral yang tidak mempunyai sisi yang sama.

Untuk piramida terpotong rumus berikut ini valid:

(4)

Di mana S 1 , S 2 – area pangkalan atas dan bawah;

S penuh– total luas permukaan;

sisi S– luas permukaan lateral;

H- tinggi;

V– volume piramida terpotong.

Untuk piramida terpotong beraturan, rumusnya benar:

Di mana P 1 , P 2 – keliling alasnya;

ha– apotema dari piramida terpotong beraturan.

Contoh 1. Pada limas segitiga beraturan, sudut dihedral pada alasnya adalah 60º. Temukan garis singgung sudut kemiringan tepi samping terhadap bidang alasnya.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 18).

Piramida beraturan, artinya pada alasnya terdapat segitiga sama sisi dan semua sisi sisinya merupakan segitiga sama kaki yang sama besar. Sudut dihedral pada alasnya adalah sudut kemiringan sisi sisi limas terhadap bidang alasnya. Sudut linier adalah sudut A antara dua garis tegak lurus: dll. Bagian atas piramida diproyeksikan di tengah-tengah segitiga (pusat lingkaran luar dan lingkaran tertulis segitiga ABC). Sudut kemiringan tepi samping (misalnya S.B.) adalah sudut antara tepi itu sendiri dan proyeksinya pada bidang alasnya. Untuk tulang rusuk S.B. sudut ini akan menjadi sudut SBD. Untuk mencari garis singgung, Anda perlu mengetahui kaki-kakinya JADI Dan O.B.. Biarkan panjang segmennya BD sama dengan 3 A. Dot TENTANG segmen garis BD dibagi menjadi beberapa bagian: dan Dari kita temukan JADI: Dari kami menemukan:

Menjawab:

Contoh 2. Hitunglah volume limas segi empat beraturan terpotong jika diagonal-diagonal alasnya sama dengan cm dan cm, dan tingginya 4 cm.

Larutan. Untuk mencari volume piramida terpotong, kita menggunakan rumus (4). Untuk mencari luas alasnya, Anda perlu mencari sisi-sisi persegi alasnya, dengan mengetahui diagonalnya. Panjang sisi alasnya masing-masing sama dengan 2 cm dan 8 cm. Artinya luas alasnya dan dengan memasukkan semua data ke dalam rumus, kita menghitung volume limas yang terpotong:

Menjawab: 112cm3.

Contoh 3. Hitunglah luas sisi sisi piramida terpotong berbentuk segitiga beraturan yang panjang sisi alasnya 10 cm dan 4 cm, dan tinggi limasnya 2 cm.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 19).

Sisi samping piramida ini berbentuk trapesium sama kaki. Untuk menghitung luas trapesium, Anda perlu mengetahui alas dan tingginya. Alasnya diberikan sesuai syarat, hanya saja tingginya masih belum diketahui. Kami akan menemukannya dari mana A 1 E tegak lurus dari suatu titik A 1 pada bidang alas bawah, A 1 D– tegak lurus dari A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, karena ini adalah tinggi limas. Mencari DE Mari kita buat gambar tambahan yang menunjukkan tampilan atas (Gbr. 20). Dot TENTANG– proyeksi pusat alas atas dan bawah. sejak (lihat Gambar 20) dan Di sisi lain OKE– jari-jari tertulis dalam lingkaran dan OM– jari-jari tertulis dalam lingkaran:

MK = DE.

Menurut teorema Pythagoras dari

Area wajah samping:

Menjawab:

Contoh 4. Di dasar piramida terdapat trapesium sama kaki, yang alasnya A Dan B (A> B). Setiap sisi sisinya membentuk sudut yang sama dengan bidang alas limas J. Temukan total luas permukaan piramida.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 21). Total luas permukaan piramida SABCD sama dengan jumlah luas dan luas trapesium ABCD.

Mari kita gunakan pernyataan bahwa jika semua permukaan limas memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka titik sudutnya diproyeksikan ke pusat lingkaran yang terdapat di alasnya. Dot TENTANG– proyeksi titik S di dasar piramida. Segi tiga MERUMPUT adalah proyeksi ortogonal segitiga CSD ke bidang pangkalan. Dengan menggunakan teorema luas proyeksi ortogonal bangun datar, kita memperoleh:

Demikian juga artinya Jadi, masalahnya direduksi menjadi mencari luas trapesium ABCD. Mari menggambar trapesium ABCD secara terpisah (Gbr. 22). Dot TENTANG– pusat lingkaran pada trapesium.

Karena sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam trapesium, maka atau Dari teorema Pythagoras kita punya

adalah polihedron yang dibentuk oleh alas limas dan bagian yang sejajar dengannya. Dapat dikatakan bahwa piramida terpotong adalah piramida yang bagian atasnya terpotong. Angka ini memiliki banyak sifat unik:

• Sisi samping piramida berbentuk trapesium;
• Tepi lateral piramida terpotong beraturan memiliki panjang yang sama dan miring ke alas dengan sudut yang sama;
• Basisnya adalah poligon serupa;
• Pada limas terpotong beraturan, muka-mukanya adalah trapesium sama kaki yang identik, yang luasnya sama. Mereka juga cenderung ke pangkalan pada satu sudut.

Rumus luas permukaan lateral limas terpotong adalah jumlah luas sisi-sisinya:

Karena sisi-sisi piramida terpotong adalah trapesium, untuk menghitung parameternya Anda harus menggunakan rumus daerah trapesium. Untuk piramida terpotong biasa, Anda dapat menerapkan rumus berbeda untuk menghitung luasnya. Karena semua sisi, sisi, dan sudut alasnya sama besar, kita dapat menerapkan keliling alas dan apotema, serta menurunkan luas melalui sudut alas.

Jika, menurut kondisi pada limas terpotong beraturan, diberikan apotema (tinggi sisi) dan panjang sisi alasnya, maka luasnya dapat dihitung melalui perkalian setengah dari jumlah keliling piramida. dasar dan apotema:

Mari kita lihat contoh penghitungan luas permukaan lateral limas terpotong.
Diberikan piramida segi lima beraturan. Apotema aku= 5 cm, panjang rusuk pada alas besar adalah A= 6 cm, dan rusuknya berada pada alas yang lebih kecil B= 4 cm Hitung luas limas yang terpotong.

Pertama, kita cari keliling alasnya. Karena kita diberi piramida segi lima, kita memahami bahwa alasnya adalah segi lima. Artinya alasnya memuat bangun datar yang mempunyai lima sisi yang identik. Mari kita cari keliling alas yang lebih besar:

Dengan cara yang sama kita mencari keliling alas yang lebih kecil:

Sekarang kita bisa menghitung luas piramida terpotong beraturan. Substitusikan data tersebut ke dalam rumus:

Jadi, kami menghitung luas piramida terpotong beraturan melalui keliling dan apotema.

Cara lain untuk menghitung luas permukaan lateral limas beraturan adalah dengan rumus melalui sudut-sudut alas dan luas alas-alas tersebut.

Mari kita lihat contoh perhitungannya. Kita ingat bahwa rumus ini hanya berlaku untuk piramida terpotong beraturan.

Misalkan diberikan piramida segi empat beraturan. Panjang rusuk alas bawah a = 6 cm dan rusuk alas atas b = 4 cm Sudut dihedral alas adalah β = 60°. Temukan luas permukaan lateral piramida terpotong beraturan.

Pertama, mari kita hitung luas alasnya. Karena piramida itu beraturan, semua rusuk alasnya sama besar. Mengingat alasnya berbentuk segi empat, kami memahami bahwa perlu dilakukan perhitungan luas alun-alun. Ini adalah hasil kali lebar dan panjang, tetapi jika dikuadratkan, nilainya sama. Mari kita cari luas alas yang lebih besar:


Sekarang kita menggunakan nilai yang ditemukan untuk menghitung luas permukaan lateral.

Mengetahui beberapa rumus sederhana, kita dengan mudah menghitung luas trapesium lateral limas terpotong menggunakan berbagai nilai.

• 22.09.2014

  Prinsip operasi. Ketika Anda menekan tombol digit pertama kode SA1, pemicu DD1.1 akan beralih dan tegangan tingkat tinggi akan muncul pada input D pemicu DD1.2. Oleh karena itu, ketika Anda menekan tombol kode SA2 berikutnya, pemicu DD1.2 mengubah statusnya dan menyiapkan pemicu berikutnya untuk peralihan. Jika panggilan lebih lanjut benar, pemicu DD2.2 akan dipicu terakhir, dan...

• 03.10.2014

  Perangkat yang diusulkan menstabilkan tegangan hingga 24V dan arus hingga 2A dengan perlindungan hubung singkat. Jika pengaktifan stabilizer tidak stabil, sinkronisasi dari generator pulsa otonom harus digunakan (Gbr. 2). 2. Rangkaian stabilizer ditunjukkan pada Gambar 1. Pemicu Schmitt dipasang pada VT1 VT2, yang mengontrol transistor pengatur kuat VT3. Detail: VT3 dilengkapi dengan heat sink...

• 20.09.2014

  Penguat (lihat foto) dibuat sesuai dengan sirkuit tradisional dengan tabung bias otomatis: output - AL5, driver - 6G7, kenotron - AZ1. Diagram salah satu dari dua saluran penguat stereo ditunjukkan pada Gambar 1. Dari kontrol volume, sinyal disuplai ke jaringan lampu 6G7, diperkuat, dan dari anoda lampu ini melalui kapasitor isolasi C4 disuplai ke ...

• 15.11.2017

  NE555 adalah pengatur waktu universal - perangkat untuk membentuk (menghasilkan) pulsa tunggal dan berulang dengan karakteristik waktu yang stabil. Ini adalah pemicu RS asinkron dengan ambang masukan tertentu, pembanding analog yang ditentukan secara tepat, dan pembagi tegangan bawaan (pemicu Schmitt presisi dengan pemicu RS). Ini digunakan untuk membangun berbagai generator, modulator, relai waktu, perangkat ambang batas dan...