Sifat-sifat persamaan linier dengan dua variabel. Persamaan linier: rumus dan contoh. Ketimpangan dan solusinya. Contoh tugas dengan persamaan linear

Sifat-sifat persamaan linier dengan dua variabel. Persamaan linier: rumus dan contoh. Ketimpangan dan solusinya. Contoh tugas dengan persamaan linear
Sifat-sifat persamaan linier dengan dua variabel. Persamaan linier: rumus dan contoh. Ketimpangan dan solusinya. Contoh tugas dengan persamaan linear
04.11.2020

Persamaan linear dua variabel mempunyai bentuk umum ax + by + c = 0. Di dalamnya, a, b dan c adalah koefisien - beberapa angka; dan x dan y adalah variabel – bilangan tak dikenal yang perlu dicari.

Penyelesaian persamaan linear dua variabel adalah sepasang bilangan x dan y, yang ax + by + c = 0 merupakan persamaan sejati.

Persamaan linier dua variabel tertentu (misalnya 3x + 2y – 1 = 0) mempunyai himpunan solusi, yaitu himpunan pasangan bilangan yang persamaannya benar. Persamaan linier dua variabel diubah menjadi fungsi linier berbentuk y = kx + m, yaitu garis lurus pada bidang koordinat. Koordinat semua titik yang terletak pada garis ini merupakan penyelesaian persamaan linier dua variabel.

Jika diberikan dua persamaan linier berbentuk ax + by + c = 0 dan diperlukan untuk mencari nilai x dan y yang keduanya mempunyai penyelesaian, maka kita katakan bahwa kita harus menyelesaikan sistem persamaan. Suatu sistem persamaan ditulis di bawah kurung kurawal biasa. Contoh:

Suatu sistem persamaan tidak mungkin mempunyai solusi tunggal jika garis-garis lurus yang merupakan grafiknya bersesuaian fungsi linier, jangan berpotongan (yaitu sejajar satu sama lain). Untuk menyimpulkan tidak ada penyelesaian, cukup dengan mengubah kedua persamaan linear dua variabel menjadi bentuk y = kx + m. Jika k adalah bilangan yang sama pada kedua persamaan, maka sistem tersebut tidak mempunyai penyelesaian.

Jika suatu sistem persamaan ternyata terdiri dari dua persamaan identik (yang mungkin tidak langsung terlihat jelas, tetapi setelah transformasi), maka persamaan tersebut mempunyai jumlah penyelesaian yang tak terhingga. Dalam hal ini kita berbicara tentang ketidakpastian.

Dalam semua kasus lainnya, sistem memiliki satu solusi. Kesimpulan ini dapat diambil dari kenyataan bahwa dua garis yang tidak sejajar hanya dapat berpotongan di satu titik. Titik potong inilah yang terletak pada garis pertama dan kedua, artinya, ini akan menjadi solusi persamaan pertama dan kedua. Oleh karena itu, ini adalah solusi untuk sistem persamaan. Namun, perlu untuk menetapkan situasi ketika batasan tertentu dikenakan pada nilai x dan y (biasanya sesuai dengan kondisi soal). Misalnya x > 0, y > 0. Dalam hal ini, meskipun sistem persamaan mempunyai solusi, tetapi tidak memenuhi syarat, maka ditarik kesimpulan bahwa sistem persamaan tersebut tidak mempunyai solusi pada kondisi tertentu. .

Ada tiga cara untuk menyelesaikan sistem persamaan:

  1. Dengan metode seleksi. Seringkali hal ini sangat sulit dilakukan.
  2. Metode grafis. Ketika dua garis lurus (grafik fungsi persamaan yang bersesuaian) digambar pada bidang koordinat dan titik potongnya ditemukan. Metode ini mungkin tidak memberikan hasil yang akurat jika koordinat titik potongnya berupa bilangan pecahan.
  3. Metode aljabar. Mereka serbaguna dan dapat diandalkan.

Pendekatan penulis terhadap topik ini bukanlah suatu kebetulan. Persamaan dengan dua variabel pertama kali ditemui pada mata pelajaran kelas 7. Satu persamaan dengan dua variabel mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga. Hal ini ditunjukkan dengan jelas oleh grafik fungsi linier, yang diberikan sebagai ax + by=c. Dalam kursus sekolah, siswa mempelajari sistem dua persamaan dengan dua variabel. Akibatnya, serangkaian masalah dengan kondisi terbatas pada koefisien persamaan, serta metode penyelesaiannya, tidak lagi terlihat oleh guru dan, oleh karena itu, siswa.

Kita berbicara tentang menyelesaikan persamaan dengan dua bilangan bulat atau bilangan asli yang tidak diketahui.

Di sekolah, bilangan asli dan bilangan bulat dipelajari di kelas 4-6. Pada saat mereka lulus sekolah, tidak semua siswa mengingat perbedaan himpunan angka-angka tersebut.

Namun, permasalahan seperti “menyelesaikan persamaan bentuk ax + by=c dalam bilangan bulat” semakin banyak ditemukan pada ujian masuk universitas dan materi Unified State Examination.

Memecahkan persamaan yang tidak pasti mengembangkan pemikiran logis, kecerdasan, dan perhatian terhadap analisis.

Saya mengusulkan untuk mengembangkan beberapa pelajaran tentang topik ini. Saya tidak memiliki rekomendasi yang jelas mengenai waktu pelajaran ini. Beberapa elemen juga dapat digunakan di kelas 7 (untuk kelas kuat). Pelajaran ini dapat dijadikan dasar dan dikembangkan mata kuliah pilihan kecil tentang pelatihan pra-kejuruan di kelas 9. Dan tentunya materi ini dapat digunakan di kelas 10-11 untuk persiapan ujian.

Tujuan pelajaran:

  • pengulangan dan generalisasi pengetahuan pada topik “Persamaan orde pertama dan kedua”
  • menumbuhkan minat kognitif pada subjek
  • mengembangkan kemampuan menganalisis, membuat generalisasi, mentransfer pengetahuan ke situasi baru

Pelajaran 1.

Selama kelas.

1) Organisasi. momen.

2) Memperbarui pengetahuan dasar.

Definisi. Persamaan linier dua variabel merupakan persamaan bentuk

mx + ny = k, dimana m, n, k adalah bilangan, x, y adalah variabel.

Contoh: 5x+2y=10

Definisi. Penyelesaian persamaan dua variabel adalah sepasang nilai variabel yang mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang sebenarnya.

Persamaan dua variabel yang penyelesaiannya sama disebut ekuivalen.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6

Persamaan ini dapat memiliki sejumlah solusi. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil nilai x apa pun dan menemukan nilai y yang sesuai.

Misalkan x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4

Pasangan angka (2;1); (4;-4) – solusi persamaan (1).

Persamaan ini mempunyai banyak solusi yang tak terhingga.

3) Latar belakang sejarah

Persamaan tak tentu (Diophantine) adalah persamaan yang mengandung lebih dari satu variabel.

Pada abad ke-3. IKLAN – Diophantus dari Alexandria menulis “Aritmatika”, di mana ia memperluas himpunan bilangan menjadi bilangan rasional dan memperkenalkan simbolisme aljabar.

Diophantus juga mempertimbangkan masalah penyelesaian persamaan tak tentu dan dia memberikan metode untuk menyelesaikan persamaan tak tentu derajat kedua dan ketiga.

4) Mempelajari materi baru.

Definisi: Persamaan Diophantine tak homogen orde satu dengan dua bilangan tak diketahui x, y adalah persamaan berbentuk mx + ny = k, dimana m, n, k, x, y Z k0

Pernyataan 1.

Jika suku bebas k pada persamaan (1) tidak habis dibagi pembagi persekutuan terbesar (PBB) dari bilangan m dan n, maka persamaan (1) tidak mempunyai penyelesaian bilangan bulat.

Contoh: 34x – 17y = 3.

GCD (34; 17) = 17, 3 tidak habis dibagi 17, tidak ada penyelesaian dalam bilangan bulat.

Misalkan k dibagi dengan gcd (m, n). Dengan membagi seluruh koefisien, kita dapat memastikan bahwa m dan n menjadi relatif prima.

Pernyataan 2.

Jika m dan n persamaan (1) relatif merupakan bilangan prima, maka persamaan tersebut mempunyai paling sedikit satu solusi.

Pernyataan 3.

Jika koefisien m dan n persamaan (1) adalah bilangan koprima, maka persamaan ini mempunyai banyak solusi yang tak terhingga:

Dimana (; ) adalah solusi persamaan (1), t Z

Definisi. Persamaan Diophantine homogen orde pertama dengan dua x, y yang tidak diketahui adalah persamaan berbentuk mx + ny = 0, dimana (2)

Pernyataan 4.

Jika m dan n adalah bilangan koprima, maka penyelesaian persamaan (2) mempunyai bentuk

5) Pekerjaan rumah. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:

  1. 9x – 18 tahun = 5
  2. x + kamu= xy
  3. Beberapa anak sedang memetik apel. Setiap anak laki-laki mengumpulkan 21 kg, dan anak perempuan mengumpulkan 15 kg. Total mereka mengumpulkan 174 kg. Berapa banyak anak laki-laki dan berapa banyak anak perempuan yang memetik apel?

Komentar. Pelajaran ini tidak memberikan contoh penyelesaian persamaan bilangan bulat. Oleh karena itu, anak menyelesaikan pekerjaan rumah berdasarkan pernyataan 1 dan seleksi.

Pelajaran 2.

1) Momen organisasi

2) Memeriksa pekerjaan rumah

1) 9x – 18 tahun = 5

5 tidak habis dibagi 9; tidak ada penyelesaian dalam bilangan bulat.

Dengan menggunakan metode seleksi Anda dapat menemukan solusinya

Jawaban: (0;0), (2;2)

3) Mari kita buat persamaan:

Misalkan anak laki-laki adalah x, x Z, dan anak perempuan adalah y, y Z, maka kita dapat membuat persamaan 21x + 15y = 174

Banyak siswa, setelah menulis persamaan, tidak dapat menyelesaikannya.

Jawaban: 4 laki-laki, 6 perempuan.

3) Mempelajari materi baru

Setelah mengalami kesulitan dalam menyelesaikan pekerjaan rumah, siswa yakin akan perlunya mempelajari metode mereka untuk menyelesaikan persamaan tak tentu. Mari kita lihat beberapa di antaranya.

I. Metode menghitung sisa pembagian.

Contoh. Selesaikan persamaan bilangan bulat 3x – 4y = 1.

Ruas kiri persamaan habis dibagi 3, oleh karena itu ruas kanan harus habis dibagi. Mari kita pertimbangkan tiga kasus.

Jawaban: dimana m Z.

Metode yang dijelaskan mudah digunakan jika bilangan m dan n tidak kecil, tetapi dapat didekomposisi menjadi faktor sederhana.

Contoh: Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat.

Misalkan y = 4n, maka 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) dibagi 4.

y = 4n+1, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n tidak habis dibagi 4.

y = 4n+2, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n tidak habis dibagi 4.

y = 4n+3, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n tidak habis dibagi 4.

Oleh karena itu y = 4n, maka

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Menjawab: , dimana n Z.

II. Persamaan tak tentu derajat 2

Hari ini dalam pelajaran kita hanya akan membahas solusi persamaan Diophantine orde kedua.

Dan dari semua jenis persamaan, kita akan mempertimbangkan kasus ketika kita dapat menerapkan rumus selisih kuadrat atau metode faktorisasi lainnya.

Contoh: Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat.

13 adalah bilangan prima, sehingga hanya dapat difaktorkan dengan empat cara: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Mari kita pertimbangkan kasus-kasus ini

Jawaban: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Pekerjaan rumah.

Contoh. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:

(x - kamu)(x + kamu)=4

2x = 4 2x = 5 2x = 5
x = 2 x = 5/2 x = 5/2
kamu = 0 tidak cocok tidak cocok
2x = -4 tidak cocok tidak cocok
x = -2
kamu = 0

Jawaban: (-2;0), (2;0).

Jawaban: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

V)

Jawaban: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Hasil. Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan bilangan bulat?

Metode penyelesaian persamaan tak tentu apa yang Anda ketahui?

Aplikasi:

Latihan untuk pelatihan.

1) Selesaikan dalam bilangan bulat.

a) 8x + 12y = 32 x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
b) 7x + 5y = 29 x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
c) 4x + 7y = 75 x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
d) 9x – 2y = 1 x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
e) 9x – 11 tahun = 36 x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
e) 7x – 4y = 29 x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
g) 19x – 5y = 119 x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
h) 28x – 40 tahun = 60 x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Temukan solusi bilangan bulat non-negatif dari persamaan:

Solusi:Z (2; -1)

Literatur.

  1. Ensiklopedia anak-anak “Pedagogi”, Moskow, 1972.
  2. Aljabar-8, N.Ya. Vilenkin, VO “Ilmu Pengetahuan”, Novosibirsk, 1992
  3. Masalah persaingan berdasarkan teori bilangan. V.Ya. Galkin, D.Yu. Sychugov. Universitas Negeri Moskow, VMK, Moskow, 2005.
  4. Soal peningkatan kesulitan pada mata kuliah aljabar untuk kelas 7-9. N.P. Kosrykina. “Pencerahan”, Moskow, 1991
  5. Aljabar 7, Makarychev Yu.N., “Pencerahan.”

Tujuan pelajaran:

  • Pendidikan:
    • ulangi topik: “Persamaan. Persamaan linear.
    • Persamaan ekuivalen dan sifat-sifatnya”;
  • memastikan siswa memahami konsep persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya.:
    • Pembangunan
    • untuk membentuk kemampuan intelektual:
    • kemampuan membandingkan, membangun analogi, menyoroti hal utama;
    • kemampuan menggeneralisasi dan mensistematisasikan materi yang dibahas;
    • mengembangkan pemikiran logis, memori, imajinasi, ucapan matematika;
  • mengembangkan aktivitas kognitif aktif.:
    • Pendidikan
    • menumbuhkan kemandirian, keaktifan, dan minat siswa pada semua tahapan pembelajaran;

untuk membentuk sifat-sifat karakter seperti ketekunan, ketekunan, tekad.

  • Tugas yang harus diselesaikan guru dalam pembelajaran:
  • belajar menonjolkan gagasan utama dalam teks;
  • belajar bertanya kepada guru, diri sendiri atau siswa;
  • belajar menggunakan pengetahuan yang diperoleh untuk memecahkan masalah non-standar;

mengajarkan kemampuan mengungkapkan pikiran secara matematis dengan benar.

  • Masalah yang harus dipecahkan siswa dalam pelajaran ini:
  • mengetahui definisi persamaan linear dua variabel;
  • mampu menulis persamaan linear sederhana;
  • dapat menemukan dengan benar nilai variabel a, b dan c;
  • mampu mengidentifikasi persamaan linier dua variabel antar persamaan;
  • menjawab pertanyaan: apa solusi persamaan linear dua variabel?
  • Bagaimana cara mengetahui pasangan bilangan merupakan solusi suatu persamaan?

dapat menyatakan suatu variabel dalam variabel lain. pelajaran dalam mempelajari materi baru.

SELAMA KELAS

SAYA. Waktu pengorganisasian

II. Pengulangan materi yang dibahas

1) Di papan: 2x, 2x + 5, 2x + 5 = 17.

2) Pertanyaan untuk kelas:

– Definisikan ungkapan-ungkapan ini. (Jawaban yang diharapkan: hasil kali, monomial, jumlah, polinomial, persamaan.)
-Apa yang disebut persamaan?
– Apakah Anda memerlukan persamaan...? (Memutuskan)
– Apa yang dimaksud dengan “menyelesaikan persamaan”?
– Apa akar persamaannya?
– Persamaan manakah yang ekuivalen?
– Sifat-sifat persamaan persamaan apa yang kamu ketahui?

AKU AKU AKU. Memperbarui pengetahuan siswa

3) Tugas untuk seluruh kelas:

– Konversi ekspresi :(dua orang bekerja di dewan).

a) 2(x + 8) + 4(2x – 4) = b) 4(x – 2) + 2(3y + 4) =

Setelah transformasi kita mendapatkan: a) 10x; b) 4x + 6 tahun:

– Gunakan mereka untuk membuat persamaan (siswa menyarankan - guru menuliskan persamaan di papan tulis): 10x = 30; 4x + 6 tahun = 28.

Pertanyaan:

– Apa nama persamaan pertama?
– Mengapa linier?
– Bandingkan persamaan kedua dengan persamaan pertama. Coba rumuskan definisi persamaan kedua (Jawaban yang diharapkan: persamaan dengan dua variabel; perhatian siswa terfokus pada jenis persamaan – linier).

IV. Mempelajari materi baru

1) Topik pelajaran diumumkan. Merekam topik di buku catatan. Rumusan mandiri siswa tentang pengertian persamaan linear dua variabel, persamaan linear dua variabel (analogikan definisi persamaan linear satu variabel), contoh persamaan linear dua variabel. Diskusi berlangsung dalam bentuk percakapan frontal, dialog – penalaran.

2) Tugas kelas:

a) Tulislah dua persamaan linear dengan dua variabel (guru dan siswa mendengarkan jawaban beberapa siswa; sesuai pilihan guru, salah satu dari mereka menuliskan persamaannya di papan tulis).

b) Bersama-sama siswa ditentukan tugas dan pertanyaan yang harus mereka jawab dalam pelajaran ini. Setiap siswa menerima kartu dengan pertanyaan-pertanyaan ini.

c) Bekerja dengan siswa untuk memecahkan masalah dan tugas ini:

– Tentukan persamaan mana yang merupakan persamaan linier dua variabel a) 6x 2 = 36; b) 2x – 5y = 9: c) 7x + 3y 3; d) 1/2x + 1/3y = 6, dst. Mungkin timbul masalah pada persamaan x: 5 – y: 4 = 3 (tanda pembagian harus ditulis sebagai pecahan). Sifat persamaan persamaan apa yang perlu diterapkan? (Jawaban siswa) Tentukan nilai koefisiennya A, V Dan Dengan.

– Persamaan linier dengan dua variabel, seperti semua persamaan, perlu diselesaikan. Apa penyelesaian persamaan linear dua variabel? (Anak-anak memberikan definisi).

Contoh: Carilah penyelesaian persamaan: a) x – y = 12, tuliskan jawabannya dalam bentuk (x; y) atau x = ...; kamu = .... Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan tersebut?

Contoh: Carilah penyelesaian persamaan berikut a) 2x + y = 7; b) 5x – y = 4. Bagaimana caramu mencari solusi persamaan tersebut? (Dijemput).

– Bagaimana cara mengetahui pasangan bilangan merupakan solusi persamaan linier dua variabel?

3) Bekerja dengan buku teks.

– Temukan di buku teks tempat-tempat di mana gagasan utama topik pelajaran ini ditonjolkan

a) Pelaksanaan tugas secara lisan: No.1092, No.1094.

b) Contoh Penyelesaian No.1096 (untuk siswa lemah), No.1097 (untuk siswa kuat).

c) Ulangi sifat-sifat kesetaraan persamaan.

Latihan: Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan persamaan, nyatakan variabel Y melalui variabel X dalam persamaan 5x + 2y = 12 (“menit” aktif keputusan independen, kemudian ikhtisar solusi di papan diikuti dengan penjelasan).

d) Eksekusi contoh No.1099 (salah satu siswa menyelesaikan tugas di papan tulis).

Referensi sejarah

1. Teman-teman, persamaan yang kita temui di kelas hari ini disebut persamaan linier Diophantine dengan dua variabel, dinamai menurut nama ilmuwan dan matematikawan Yunani kuno Diophantus, yang hidup sekitar 3,5 ribu tahun yang lalu. Matematikawan kuno pertama-tama menyusun masalah dan kemudian berupaya menyelesaikannya. Dengan demikian, banyak masalah yang dikumpulkan, yang kita kenal dan pelajari untuk dipecahkan.

2. Dan persamaan ini juga disebut persamaan tak tentu. Banyak ahli matematika berupaya memecahkan persamaan tersebut. Salah satunya adalah Pierre Fermat, seorang matematikawan Perancis. Ia mempelajari teori penyelesaian persamaan tak tentu.

V.Ringkasan pelajaran

1) Meringkas materi yang dibahas dalam pelajaran. Jawaban atas semua pertanyaan yang diajukan kepada siswa di awal pembelajaran:

– Persamaan apa yang disebut linier dengan dua variabel?
– Apa yang disebut penyelesaian persamaan linear dua variabel?
– Bagaimana keputusan ini dicatat?
– Persamaan apa yang disebut setara?
– Apa saja sifat-sifat kesetaraan persamaan?
– Masalah apa yang kita pecahkan di kelas, pertanyaan apa yang kita jawab?

2) Melakukan pekerjaan mandiri.

Bagi yang lemah:

– Tentukan nilai variabel a, b dan c pada persamaan –1.1x + 3.6y = – 34?
– Temukan setidaknya satu solusi untuk persamaan x – y = 35?
– Apakah pasangan bilangan (3; 2) merupakan penyelesaian persamaan linier dengan dua variabel 2x – y = 4?

Untuk yang kuat:

– Tuliskan persamaan linier dengan dua variabel untuk permasalahan Diophantus: Ada burung pegar dan kelinci berjalan di pekarangan rumah. Jumlah seluruh kakinya ternyata 26.
– Nyatakan variabel y dalam x pada persamaan 3x – 5y = 8.

VI. Pesan pekerjaan rumah

Lihat semua tugas di buku teks, analisis cepat setiap tugas, pilih tugas.

  • Untuk siswa lemah : No. 1093, No. 1095b).
  • Bagi yang kuat : 1) No. 1101, No. 1104 (a). 2) selesaikan masalah Diophantus, temukan semua solusi alami untuk persamaan ini.

Selain itu, atas permintaan siswa - No. 1105.

Daripada menyimpulkan: Saya telah menjadi guru matematika selama lebih dari 40 tahun. Dan saya ingin mencatat bahwa pelajaran terbuka tidak selalu merupakan pelajaran terbaik. Seringkali pelajaran biasa membawa lebih banyak kegembiraan dan kepuasan bagi guru. Dan kemudian Anda berpikir dengan penyesalan karena tidak ada yang melihat pelajaran ini - ciptaan guru dan siswa.

Pelajaran adalah suatu organisme tunggal, satu kesatuan; di dalam pelajaran itulah pengalaman pendidikan pribadi dan moral diperoleh baik bagi siswa maupun guru. Pelajaran 45 menit itu banyak dan sedikit. Banyak - karena selama ini Anda dapat "melihat" ke kedalaman abad bersama siswa Anda dan, "kembali" dari sana, mempelajari banyak hal baru, menarik, dan masih punya waktu untuk mempelajari materi baru.

Setiap siswa harus dibawa pada pemahaman bahwa matematika merupakan landasan perkembangan intelektual manusia. Dan landasannya adalah pengembangan pemikiran logis. Oleh karena itu, sebelum setiap pelajaran, saya menetapkan tujuan untuk diri saya sendiri dan siswa saya: untuk mengajar siswa agar berhasil bekerja dengan definisi, dengan terampil membedakan yang tidak diketahui dari yang diketahui, terbukti dari yang tidak terbukti, menganalisis, membandingkan, mengklasifikasikan, mengajukan pertanyaan, dan belajar memecahkan dengan terampil. mereka. Gunakan analogi, tetapi jika Anda tidak bisa keluar sendiri, maka di samping Anda bukan hanya seorang guru, tetapi asisten utama Anda - sebuah buku.

Tentu saja, pelajaran terbuka mempunyai beberapa hasil karya kreatif guru. Dan guru yang hadir pada pelajaran ini harus memperhatikan hal yang utama: sistem kerja, kebaruan, ide. Di sini, menurut saya, tidak terlalu penting metodologi pengajaran apa yang digunakan guru dalam pembelajaran: teknologi lama, modern, atau baru yang inovatif, yang utama adalah penggunaannya tepat dan efektif bagi guru dan siswa.

Saya sangat senang bahwa dalam hidup saya, saya memiliki sekolah, anak-anak, pelajaran, dan rekan kerja yang baik hati. Terima kasih semua!

RINGKASAN PELAJARAN

Kelas: 7

UMK: Aljabar kelas 7: buku teks. untuk pendidikan umum organisasi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk dkk.]; diedit oleh S.A. Telyakovsky. – edisi ke-2. – M.: Pendidikan, 2014

Subjek: Persamaan linier dalam dua variabel

Sasaran: Mengenalkan siswa pada konsep persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya, mengajarkan cara menyatakan persamaan tersebutX melaluipada ataupada melaluiX .

UUD yang terbentuk:

Kognitif: mengajukan dan membenarkan hipotesis, menyarankan cara untuk mengujinya

Peraturan: membandingkan cara dan hasil tindakan seseorang dengan standar tertentu, mendeteksi penyimpangan dan perbedaan dari standar; menyusun rencana dan urutan tindakan.

Komunikatif: menjalin hubungan kerja; berkolaborasi secara efektif dan mendorong kerja sama yang produktif.

Pribadi: Fmengembangkan keterampilan untuk mengatur analisis kegiatan seseorang

Peralatan:komputer, proyektor multimedia, layar

Selama kelas:

SAYA Waktu pengorganisasian

Dengarkan dongeng tentang Kakek Sama dan tebak apa yang akan kita bicarakan hari ini

Dongeng "Kakek Setara"

Seorang kakek berjuluk Ravnyalo tinggal di sebuah gubuk di pinggir hutan. Dia suka bercanda dengan angka. Kakek akan mengambil angka-angka di kedua sisi dirinya, menghubungkannya dengan tanda, dan memasukkan angka tercepat ke dalam tanda kurung, tetapi pastikan bahwa satu bagian sama dengan bagian lainnya. Dan kemudian dia akan menyembunyikan nomor tertentu di bawah topeng "X" dan meminta cucunya, Ravnyalka kecil, untuk menemukannya. Meskipun Ravnyalka kecil, dia tahu caranya: dia akan dengan cepat memindahkan semua angka kecuali “X” ke sisi lain dan tidak akan lupa mengubah tandanya ke arah sebaliknya. Dan angka-angka itu mematuhinya, segera melakukan semua tindakan atas perintahnya, dan “X” pun diketahui. Sang kakek melihat betapa cerdiknya cucunya melakukan segalanya dan bersukacita: penggantinya yang baik telah tumbuh dewasa.

Jadi, tentang apa kisah ini?(tentang persamaan)

II . Mari kita mengingat semua yang kita ketahui tentang persamaan linear dan mencoba menarik kesejajaran antara materi yang kita ketahui dengan materi baru.

    Jenis persamaan apa yang kita ketahui?(persamaan linier dengan satu variabel)

    Mari kita mengingat kembali definisi persamaan linear dengan satu variabel.

    Apa akar persamaan linear satu variabel?

    Mari kita rumuskan semua sifat persamaan linier dengan satu variabel.

1 bagian tabel terisi

ax = b, dimana x adalah variabel, a, b adalah bilangan.

Contoh: 3x = 6

Nilai x yang membuat persamaan menjadi benar

1) memindahkan suku-suku dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya, mengubah tandanya menjadi kebalikannya.

2) mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan angka yang sama, tidak sama dengan nol.

Persamaan linier dengan dua variabel.

ax + vy = c, dimana x, y adalah variabel, a, b.c adalah bilangan.

Contoh:

x – kamu = 5

x + kamu = 56

2x + 6 tahun =68

Nilai x,y yang membuat persamaan tersebut benar.

x=8; kamu=3 (8;3)

x=60; kamu = - 4 (60;-4)

Sifat 1 dan 2 benar.

3) persamaan ekuivalen:

x-y=5 dan y=x-5

(8;3) (8;3)

Setelah kita mengisi tabel bagian pertama, berdasarkan analogi, kita mulai mengisi tabel baris kedua, sehingga mempelajari materi baru.

AKU AKU AKU . Mari kembali ke topik:persamaan linier dalam dua variabel . Judul topiknya menunjukkan bahwa Anda perlu memperkenalkan variabel baru, misalnya y.

Ada dua bilangan x dan y, yang satu lebih besar 5 dari yang lain. Bagaimana cara menuliskan hubungan keduanya? (x – kamu = 5) ini adalah persamaan linier dengan dua variabel. Mari kita rumuskan dengan analogi definisi persamaan linier dengan satu definisi variabel persamaan linier dengan dua variabel (Persamaan linier dua variabel merupakan persamaan bentukkapak + oleh = C , Di manaa,b DanC - beberapa nomor, danX Dankamu -variabel).

Persamaannya X – kamu= 5 dengan x = 8, y = 3 berubah menjadi persamaan benar 8 – 3 = 5. Dikatakan bahwa pasangan nilai variabel x = 8, y = 3 merupakan penyelesaian persamaan tersebut.

Merumuskan definisi penyelesaian persamaan dua variabel (Solusi persamaan dua variabel adalah pasangan nilai variabel yang mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan sejati)

Pasangan nilai variabel terkadang ditulis lebih pendek: (8;3). Dalam notasi seperti ini, nilai x ditulis di tempat pertama dan nilai y di tempat kedua.

Persamaan dengan dua variabel yang mempunyai solusi sama (atau tidak ada solusi) disebut ekuivalen.

Persamaan dengan dua variabel mempunyai sifat yang sama dengan persamaan dengan satu variabel:

    Jika Anda memindahkan suku apa pun dalam suatu persamaan dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya, Anda akan mendapatkan persamaan yang setara dengan persamaan yang diberikan.

    Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama (tidak sama dengan nol), maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan.

Contoh 1. Perhatikan persamaan 10x + 5y = 15. Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan tersebut, kita menyatakan satu variabel dalam variabel lain.

Untuk melakukan ini, pertama-tama gerakkan 10x dari sisi kiri ke kanan, ubah tandanya. Kita mendapatkan persamaan ekuivalen 5y = 15 - 10x.

Membagi setiap bagian persamaan ini dengan angka 5, kita mendapatkan persamaan ekuivalen

kamu = 3 - 2x. Jadi, kami menyatakan satu variabel dalam variabel lain. Dengan menggunakan persamaan ini, untuk setiap nilai x kita dapat menghitung nilai y.

Jika x = 2, maka y = 3 - 2 2 = -1.

Jika x = -2, maka y = 3 - 2· (-2) = 7. Pasangan bilangan (2; -1), (-2; 7) merupakan penyelesaian persamaan ini. Jadi, persamaan ini mempunyai banyak solusi yang tak terhingga.

Dari sejarah. Masalah penyelesaian persamaan bilangan asli dibahas secara rinci dalam karya matematikawan Yunani terkenal Diophantus (abad III). Risalahnya “Aritmatika” berisi solusi cerdik dalam bilangan asli untuk berbagai macam persamaan. Dalam hal ini, persamaan dengan beberapa variabel yang memerlukan penyelesaian dalam bilangan asli atau bilangan bulat disebut persamaan Diophantine.

Contoh 2. Tepung terigu dikemas dalam karung ukuran 3 kg dan 2 kg. Berapa kantong masing-masing jenis yang harus diambil untuk membuat 20 kg tepung?

Katakanlah kita perlu mengambil kantong x seberat 3 kg dan kantong y seberat 2 kg. Maka 3x + 2y = 20. Diperlukan untuk mencari semua pasangan nilai natural dari variabel x dan y yang memenuhi persamaan ini. Kita mendapatkan:

2 tahun = 20 - 3x

kamu =

Menggantikan ke dalam persamaan ini alih-alih x secara berturut-turut semua bilangan 1,2,3, dst., kita mencari nilai x yang mana, nilai y yang merupakan bilangan asli.

Kita mendapatkan: (2;7), (4;4), (6;1). Tidak ada pasangan lain yang memenuhi persamaan ini. Ini berarti Anda harus mengambil masing-masing paket 2 dan 7, atau 4 dan 4, atau 6 dan 1.

IV . Bekerja dari buku teks (lisan) No. 1025, No. 1027 (a)

Pekerjaan mandiri dengan ujian di kelas.

1. Tuliskan persamaan linear dengan dua variabel.

a) 3x + 6y = 5 c) xy = 11 b) x – 2y = 5

2. Apakah pasangan bilangan merupakan penyelesaian suatu persamaan?

2x + y = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).

3. Nyatakan dari persamaan linear

4x – 3y = 12 a) x sampai y b) y sampai x

4. Temukan tiga solusi persamaan tersebut.

x + kamu = 27

V . Jadi, untuk meringkas:

Definisikan persamaan linear dengan dua variabel.

Apa yang disebut penyelesaian (akar) persamaan linear dua variabel.

Nyatakan sifat-sifat persamaan linier dengan dua variabel.

Penilaian.

Pekerjaan Rumah : paragraf 40, No.1028, No.1032

Kita sering menjumpai persamaan berbentuk ax + b = 0, dimana a, b adalah bilangan, x adalah variabel. Misalnya bx - 8 = 0, x + 4 = O, - 7x - 11 = 0, dst. Bilangan a, b (koefisien persamaan) bisa apa saja, kecuali a = 0.

Persamaan ax + b = 0, dimana a, disebut persamaan linier dengan satu variabel x (atau persamaan linier dengan satu x yang tidak diketahui). Kita dapat menyelesaikannya, yaitu dengan menyatakan x melalui a dan b:

Kami telah mencatat sebelumnya bahwa hal itu cukup sering model matematika keadaan sebenarnya adalah persamaan linier dengan satu variabel atau persamaan yang setelah ditransformasikan menjadi persamaan linier. Sekarang mari kita lihat situasi nyata ini.

Dari kota A dan B yang jaraknya 500 km, berangkatlah dua buah kereta api yang saling menuju, masing-masing dengan kecepatan tetap. Diketahui, kereta pertama berangkat 2 jam lebih awal dibandingkan kereta kedua. 3 jam setelah kereta kedua berangkat, mereka bertemu. Berapa kecepatan keretanya?

Mari kita buat model matematika dari permasalahan tersebut. Misal x km/jam adalah kecepatan kereta pertama, dan y km/jam adalah kecepatan kereta kedua. Yang pertama menempuh perjalanan selama 5 jam sehingga menempuh jarak bx km. Kereta kedua menempuh perjalanan selama 3 jam yaitu. berjalan sejauh 3 km.

Pertemuan mereka terjadi di titik C. Gambar 31 menunjukkan model geometris situasi. Dalam bahasa aljabar dapat dijelaskan sebagai berikut:

5x + Zu = 500


atau
5x + Zu - 500 = 0.

Model matematika ini disebut persamaan linier dengan dua variabel x,y.
Sama sekali,

kapak + oleh + c = 0,

dimana a, b, c adalah bilangan, dan , linier persamaannya dengan dua variabel x dan y (atau dengan dua variabel x dan y yang tidak diketahui).

Mari kita kembali ke persamaan 5x + 3 = 500. Kita perhatikan bahwa jika x = 40, y = 100, maka 5 40 + 3 100 = 500 adalah persamaan yang benar. Artinya jawaban soal soal tersebut adalah sebagai berikut: kecepatan kereta pertama 40 km/jam, kecepatan kereta kedua 100 km/jam. Pasangan bilangan x = 40, y = 100 disebut penyelesaian persamaan 5x + 3 = 500. Dikatakan juga bahwa pasangan nilai (x; y) ini memenuhi persamaan 5x + 3 = 500.

Sayangnya, solusi ini bukanlah satu-satunya solusi (kita semua menyukai kepastian dan ketidakjelasan). Faktanya, pilihan berikut juga dimungkinkan: x = 64, y = 60; memang, 5 64 + 3 60 = 500 adalah persamaan yang benar. Dan ini: x = 70, y = 50 (karena 5 70 + 3 50 = 500 adalah persamaan sejati).

Namun, katakanlah, sepasang bilangan x = 80, y = 60 bukanlah penyelesaian persamaan tersebut, karena persamaan sejati tidak berlaku dengan nilai-nilai ini:

Secara umum penyelesaian persamaan ax + by + c = 0 adalah setiap pasangan bilangan (x; y) yang memenuhi persamaan tersebut, yaitu mengubah persamaan dengan variabel ax + by + c = 0 menjadi bilangan yang sebenarnya persamaan. Ada banyak sekali solusi seperti itu.

Komentar. Mari kita kembali lagi ke persamaan 5x + 3 = 500 yang diperoleh pada soal yang dibahas di atas. Di antara penyelesaiannya yang tak terhingga, misalnya, terdapat yang berikut: x = 100, y = 0 (memang, 5 100 + 3 0 = 500 adalah persamaan numerik yang benar); x = 118, y = - 30 (karena 5,118 + 3 (-30) = 500 adalah persamaan numerik yang benar). Namun, menjadi solusi persamaan tersebut, pasangan-pasangan tersebut tidak dapat dijadikan sebagai solusi permasalahan tersebut, karena kecepatan kereta api tidak boleh sama dengan nol (maka tidak bergerak, melainkan diam); Selain itu, kecepatan kereta api tidak boleh negatif (maka ia tidak bergerak menuju kereta lain, seperti yang disebutkan pada rumusan masalah, tetapi berlawanan arah).

Contoh 1. Gambarlah penyelesaian persamaan linear dua variabel x + y - 3 = 0 berdasarkan titik-titik pada bidang koordinat xOy.

Larutan. Mari kita pilih beberapa solusi dari suatu persamaan tertentu, yaitu beberapa pasang bilangan yang memenuhi persamaan tersebut: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5) .

A. V. Pogorelov, Geometri untuk kelas 7-11, Buku teks untuk lembaga pendidikan

Isi pelajaran catatan pelajaran bingkai pendukung presentasi pelajaran metode akselerasi teknologi interaktif Praktik tugas dan latihan lokakarya tes mandiri, pelatihan, kasus, pencarian pekerjaan rumah, pertanyaan diskusi, pertanyaan retoris dari siswa Ilustrasi audio, klip video dan multimedia foto, gambar, grafik, tabel, diagram, humor, anekdot, lelucon, komik, perumpamaan, ucapan, teka-teki silang, kutipan Pengaya abstrak artikel trik untuk boks penasaran, buku teks dasar dan kamus tambahan istilah lainnya Menyempurnakan buku teks dan pelajaranmemperbaiki kesalahan pada buku teks pemutakhiran suatu penggalan dalam buku teks, unsur inovasi dalam pembelajaran, penggantian pengetahuan yang sudah ketinggalan zaman dengan yang baru Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rencana kalender untuk setahun pedoman program diskusi Pelajaran Terintegrasi