איך למצוא את הגובה מהבסיס. גובה המשולש. מדריך חזותי (2020). נוסחאות כלליות לחישוב גובה משולש

כמעט אף פעם לא ניתן לקבוע את כל הפרמטרים של משולש ללא קונסטרוקציות נוספות. קונסטרוקציות אלו הן מאפיינים גרפיים ייחודיים של משולש, המסייעים בקביעת גודל הצלעות והזוויות.

הַגדָרָה

אחד המאפיינים הללו הוא גובה המשולש. גובה הוא מאונך הנמשך מקודקוד משולש לצלע הנגדית שלו. קודקוד הוא אחת משלוש הנקודות שמרכיבות יחד עם שלוש הצלעות משולש.

ההגדרה של גובה משולש עשויה להישמע כך: הגובה הוא האנך הנמשך מקודקוד המשולש אל הישר המכיל את הצלע הנגדית.

הגדרה זו נשמעת מסובכת יותר, אך היא משקפת בצורה מדויקת יותר את המצב. העובדה היא שבמשולש קהה לא ניתן לצייר את הגובה בתוך המשולש. כפי שניתן לראות באיור 1, הגובה במקרה זה הוא חיצוני. בנוסף, זה לא מצב סטנדרטי לבנות את הגובה במשולש ישר זווית. במקרה זה, שניים משלושת הגבהים של המשולש יעברו דרך הרגליים, והשלישי מהקודקוד אל התחתון.

אוֹרֶז. 1. גובה משולש קהה.

בדרך כלל, גובה משולש מסומן באות h. גובה מצוין גם באיורים אחרים.

איך מוצאים את הגובה של משולש?

ישנן שלוש דרכים סטנדרטיות למציאת גובה משולש:

דרך משפט פיתגורס

שיטה זו משמשת למשולשים שווי צלעות ושווי שוקיים. בואו ננתח את הפתרון למשולש שווה שוקיים, ואז נאמר מדוע אותו פתרון תקף למשולש שווה שוקיים.

נָתוּן: משולש שווה שוקיים ABC עם בסיס AC. AB=5, AC=8. מצא את גובה המשולש.

אוֹרֶז. 2. ציור לבעיה.

למשולש שווה שוקיים, חשוב לדעת איזו צד הוא הבסיס. זה קובע את הצלעות שחייבות להיות שוות, כמו גם את הגובה שבו תכונות מסוימות פועלות.

מאפייני הגובה של משולש שווה שוקיים הנמשך לבסיס:

• הגובה עולה בקנה אחד עם החציון והחציו
• מחלק את הבסיס לשני חלקים שווים.

נסמן את הגובה כ-ВD. אנו מוצאים את DC כמחצית מהבסיס, מכיוון שגובהה של נקודה D מחלק את הבסיס לשניים. DC=4

הגובה הוא מאונך, כלומר BDC הוא משולש ישר זווית, והגובה BH הוא רגל של משולש זה.

בוא נמצא את הגובה באמצעות משפט פיתגורס: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

כל משולש שווה שוקיים הוא שווה שוקיים, רק הבסיס שלו שווה לצלעותיו. כלומר, אתה יכול להשתמש באותו הליך.

דרך שטח של משולש

שיטה זו יכולה לשמש עבור כל משולש. כדי להשתמש בו, אתה צריך לדעת את שטח המשולש ואת הצלע שאליה נמשך הגובה.

הגבהים במשולש אינם שווים, ולכן עבור הצלע המתאימה ניתן יהיה לחשב את הגובה המתאים.

הנוסחה לשטח של משולש היא: $$S=(1\over2)*bh$$, כאשר b היא הצלע של המשולש, ו-h הוא הגובה הנמשך לצד זה. בוא נבטא את הגובה מהנוסחה:

$$h=2*(S\over b)$$

אם השטח הוא 15, הצד הוא 5, אז הגובה הוא $$h=2*(15\over5)=6$$

דרך הפונקציה הטריגונומטרית

השיטה השלישית מתאימה אם הצד והזווית בבסיס ידועים. לשם כך תצטרך להשתמש בפונקציה הטריגונומטרית.

אוֹרֶז. 3. ציור לבעיה.

זווית ВСН=300, וצד BC=8. עדיין יש לנו את אותו משולש ישר זווית BCH. בואו נשתמש בסינוס. סינוס הוא היחס בין הצלע הנגדית לתחתית, כלומר: BH/BC=cos BCH.

הזווית ידועה, וכך גם הצד. בוא נבטא את גובה המשולש:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

ערך הקוסינוס נלקח בדרך כלל מהטבלאות של ברדיס, אבל הערכים של הפונקציות הטריגונומטריות עבור 30.45 ו-60 מעלות הם מספרים טבלאריים.

מה למדנו?

למדנו מה הגובה של משולש, אילו גבהים יש ואיך הם מוגדרים. גילינו בעיות אופייניות ורשמנו שלוש נוסחאות לגובה משולש.

מבחן על הנושא

דירוג מאמר

דירוג ממוצע: 4.6. סך הדירוגים שהתקבלו: 137.

חישוב גובהו של משולש תלוי בדמות עצמה (שווי שוקיים, שווה שוקיים, קנה מידה, מלבני). בגיאומטריה מעשית, נוסחאות מורכבות, ככלל, אינן נמצאות. זה מספיק לדעת את העיקרון הכללי של חישובים כך שהוא יכול להיות ישים אוניברסלית על כל המשולשים. היום נציג בפניכם את העקרונות הבסיסיים של חישוב גובה של דמות, נוסחאות חישוב המבוססות על תכונות הגבהים של משולשים.

מה זה גובה?

לגובה יש כמה מאפיינים בולטים

1. הנקודה שבה כל הגבהים מתחברים נקראת האורתוסנטר. אם המשולש מחודד, אז האורתוסנטר ממוקם בתוך הדמות אם אחת מהזוויות קהה, אז האורתוסנטר, ככלל, ממוקם בחוץ.
2. במשולש שבו זווית אחת היא 90°, האורתוסנטר והקודקוד חופפים.
3. בהתאם לסוג המשולש, קיימות מספר נוסחאות למציאת גובה המשולש.

מחשוב מסורתי

1. אם p הוא חצי מההיקף, אז a, b, c הם ייעוד הצלעות של הדמות הנדרשת, h הוא הגובה, אז הנוסחה הראשונה והפשוטה ביותר תיראה כך: h = 2/a √p(p-a) (פ-ב) (פ-ג) .
2. בספרי הלימוד בבית הספר ניתן למצוא פעמים רבות בעיות שבהן ידוע הערך של אחת מצלעות המשולש וגודל הזווית בין הצלע הזו לבסיס. ואז הנוסחה לחישוב הגובה תיראה כך: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. כאשר נתון שטח המשולש - S, כמו גם אורך הבסיס - a, החישובים יהיו פשוטים ככל האפשר. הגובה נמצא באמצעות הנוסחה: h = 2S/a.
4. כאשר ניתן רדיוס המעגל המתואר סביב הדמות, אנו מחשבים תחילה את אורכי שתי צלעותיו, ולאחר מכן ממשיכים לחשב את הגובה הנתון של המשולש. לשם כך נשתמש בנוסחה: h = b ∙ c/2R, כאשר b ו-c הן שתי צלעות המשולש שאינן הבסיס, ו-R הוא הרדיוס.

כל הצדדים של דמות זו שוות, אורכם שווים, ולכן גם הזוויות בבסיס יהיו שוות. מכאן נובע שגם הגבהים שאנו מציירים על הבסיסים יהיו שווים, הם גם חציונים וחוצים בו זמנית. במילים פשוטות, הגובה במשולש שווה שוקיים מחלק את הבסיס לשניים. המשולש בעל זווית ישרה, המתקבל לאחר שרטוט הגובה, ייחשב באמצעות משפט פיתגורס. הבה נסמן את הצלע כ-a ואת הבסיס כ-b, ואז הגובה h = ½ √4 a2 − b2.

איך מוצאים את הגובה של משולש שווה צלעות?

ניתן למצוא את הנוסחה למשולש שווה צלעות (דמות שבה כל הצלעות שוות בגודלן) על סמך חישובים קודמים. יש צורך רק למדוד את אורך אחת מצלעות המשולש ולציין אותה כ-. ואז הגובה נגזר על ידי הנוסחה: h = √3/2 a.

איך מוצאים את הגובה של משולש ישר זווית?

כידוע, הזווית במשולש ישר זווית היא 90°. הגובה שהורד בצד אחד הוא גם הצד השני. גבהים של משולש עם זווית ישרה יהיו מוטלים עליהם. כדי לקבל נתונים על גובה, עליך לשנות מעט את הנוסחה הפיתגורית הקיימת, לייעד את הרגליים - a ו-b, וגם למדוד את אורך התחתון - c.

בוא נמצא את אורך הרגל (הצד שאליה הגובה יהיה מאונך): a = √ (c2 − b2). אורך הרגל השנייה נמצא באמצעות אותה נוסחה בדיוק: b =√ (c2 − b2). לאחר מכן אתה יכול להתחיל לחשב את גובהו של משולש עם זווית ישרה, לאחר שחישבת תחילה את שטח הדמות - s. ערך גובה h = 2s/a.

חישובים עם משולש קנה מידה

כאשר למשולש בקנה מידה יש ​​זוויות חדות, הגובה הנמוך לבסיס נראה לעין. אם למשולש יש זווית קהה, אז הגובה עשוי להיות מחוץ לדמות, ואתה צריך להמשיך אותו נפשית כדי לקבל את נקודת החיבור של הגובה ואת בסיס המשולש. הדרך הקלה ביותר למדוד גובה היא לחשב אותו דרך אחת הצדדים ואת גודל הזוויות. הנוסחה היא כדלקמן: h = b sin y + c sin ß.

קודם כל, משולש הוא דמות גיאומטרית שנוצרת משלוש נקודות שאינן שוכנות על אותו קו ישר ומחוברות על ידי שלושה קטעים. כדי למצוא את גובהו של משולש, תחילה עליך לקבוע את סוגו. משולשים נבדלים זה מזה בגודל הזוויות שלהם ובמספר הזוויות השוות. לפי גודל הזוויות, משולש יכול להיות חד, קהה ומלבני. בהתבסס על מספר הצלעות השוות, משולשים מובחנים כשווים שוקיים, שווי צלעות וקנה מידה. הגובה הוא האנך שמוריד אל הצלע הנגדי של המשולש מקודקודו. איך מוצאים את הגובה של משולש?

כיצד למצוא את הגובה של משולש שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים מאופיין בשוויון של צלעות וזוויות בבסיסו, לכן גבהים של משולש שווה שוקיים הנמשכים לצלעות הרוחביות תמיד שווים זה לזה. כמו כן, גובה המשולש הזה הוא גם חציון וגם חוצה. בהתאם לכך, הגובה מחלק את הבסיס לשניים. אנו רואים את המשולש הישר-זוויתי המתקבל ומוצאים את הצלע, כלומר את גובה המשולש שווה-שוקיים, באמצעות משפט פיתגורס. באמצעות הנוסחה הבאה, אנו מחשבים את הגובה: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, כאשר: a היא הצלע של משולש שווה שוקיים זה, b הוא הבסיס של משולש שווה שוקיים זה.

איך למצוא את הגובה של משולש שווה צלעות

משולש עם צלעות שוות נקרא שווי צלעות. גובהו של משולש כזה נגזר מהנוסחה לגובה של משולש שווה שוקיים. מסתבר: H = √3/2*a, כאשר a היא הצלע של משולש שווה צלעות זה.

כיצד למצוא את הגובה של משולש בקנה מידה

סולם הוא משולש שבו כל שתי צלעות אינן שוות זו לזו. במשולש כזה, כל שלושת הגבהים יהיו שונים. ניתן לחשב את אורכי הגבהים באמצעות הנוסחה: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, כאשר a היא הצלע של המשולש או תחילה לחשב את שטחו של משולש מסוים באמצעות הנוסחה של הרון, אשר נראה כך: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, כאשר a, b, c הן הצלעות של משולש בקנה מידה, ו-p הוא חצי ההיקף שלו. כל גובה = 2*שטח/צד

איך למצוא את הגובה של משולש ישר זווית

למשולש ישר זווית יש זווית אחת ישרה. הגובה שעובר לאחת הרגליים הוא במקביל הרגל השנייה. לכן, כדי למצוא את הגבהים השוכבים על הרגליים, עליך להשתמש בנוסחה הפיתגורית המותאמת: a = √(c 2 − b 2), כאשר a, b הן הרגליים (a היא הרגל שצריך למצוא), c הוא אורך התחתון. כדי למצוא את הגובה השני, עליך לשים את הערך המתקבל a במקום b. כדי למצוא את הגובה השלישי השוכן בתוך המשולש, משתמשים בנוסחה הבאה: h = 2s/a, כאשר h הוא גובה המשולש הישר זווית, s הוא שטחו, a הוא אורך הצלע שאליה יהיה הגובה אֲנָכִי.

משולש נקרא חריף אם כל הזוויות שלו חדות. במקרה זה, כל שלושת הגבהים ממוקמים בתוך משולש חריף. משולש נקרא קהה אם יש לו זווית קהה אחת. שני גבהים של משולש קהה נמצאים מחוץ למשולש ונופלים על המשך הצלעות. הצלע השלישית נמצאת בתוך המשולש. הגובה נקבע באמצעות אותו משפט פיתגורס.

נוסחאות כלליות לחישוב גובה משולש

• נוסחה למציאת גובה משולש דרך הצלעות: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), כאשר h הוא הגובה שיש למצוא, a, b ו-c הן הצלעות של משולש נתון, p הוא חצי ההיקף שלו, .
• נוסחה למציאת גובה משולש באמצעות זווית וצלע: H=b sin y = c sin ß
• הנוסחה למציאת גובה משולש דרך שטח וצלע: h = 2S/a, כאשר a היא הצלע של המשולש, ו-h הוא הגובה שנבנה לצלע a.
• הנוסחה למציאת גובה משולש באמצעות הרדיוס והצלעות: H= bc/2R.

קורס הווידאו "קבל A" כולל את כל הנושאים הדרושים כדי לעבור בהצלחה את מבחן המדינה המאוחדת במתמטיקה עם 60-65 נקודות. מלא את כל המשימות 1-13 של בחינת המדינה המאוחדת בפרופיל במתמטיקה. מתאים גם למעבר בבחינת המדינה המאוחדת הבסיסית במתמטיקה. אם אתה רוצה לעבור את מבחן המדינה המאוחדת עם 90-100 נקודות, אתה צריך לפתור את חלק 1 תוך 30 דקות וללא טעויות!

קורס הכנה לבחינת המדינה המאוחדת לכיתות י'-י"א וכן למורים. כל מה שאתה צריך כדי לפתור את חלק 1 של בחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה (12 הבעיות הראשונות) ואת בעיה 13 (טריגונומטריה). וזה יותר מ-70 נקודות בבחינת המדינה המאוחדת, וגם סטודנט של 100 נקודות וגם סטודנט למדעי הרוח לא יכולים בלעדיהם.

כל התיאוריה הדרושה. פתרונות מהירים, מלכודות וסודות של בחינת המדינה המאוחדת. כל המשימות הנוכחיות של חלק 1 מבנק המשימות של FIPI נותחו. הקורס עומד במלואו בדרישות של בחינת המדינה המאוחדת 2018.

הקורס מכיל 5 נושאים גדולים, 2.5 שעות כל אחד. כל נושא ניתן מאפס, פשוט וברור.

מאות משימות בחינות המדינה המאוחדת. בעיות מילים ותורת ההסתברות. אלגוריתמים פשוטים וקלים לזיכרון לפתרון בעיות. גֵאוֹמֶטרִיָה. תיאוריה, חומר עזר, ניתוח של כל סוגי משימות בחינות המדינה המאוחדת. סטריאומטריה. פתרונות מסובכים, דפי רמאות שימושיים, פיתוח דמיון מרחבי. טריגונומטריה מאפס לבעיה 13. הבנה במקום לדחוס. הסברים ברורים של מושגים מורכבים. אַלגֶבּרָה. שורשים, חזקות ולוגריתמים, פונקציה ונגזרת. בסיס לפתרון בעיות מורכבות של חלק 2 של בחינת המדינה המאוחדת.

כאשר פותרים סוגים שונים של בעיות, הן בעלות אופי מתמטי בלבד והן בעלות אופי יישומי (במיוחד בבנייה), לעתים קרובות יש צורך לקבוע את ערך הגובה של דמות גיאומטרית מסוימת. איך מחשבים את הערך הזה (גובה) במשולש?

אם נשלב 3 נקודות בזוגות שאינם ממוקמים על קו אחד, אז הדמות המתקבלת תהיה משולש. גובה הוא החלק של קו ישר מכל קודקוד של דמות שיוצר זווית של 90°, כאשר הוא מצטלב עם הצלע הנגדי.

מצא את הגובה של משולש בקנה מידה

הבה נקבע את הערך של גובה משולש במקרה שלדמות יש זוויות וצלעות שרירותיות.

הנוסחה של הרון

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, כאשר

p – חצי היקף האיור, h(a) – קטע לצד a, מצויר בזוויות ישרות אליו,

p=(a+b+c)/2 – חישוב חצי ההיקף.

אם יש שטח של הדמות, אתה יכול להשתמש ביחס h(a)=2S/a כדי לקבוע את גובהה.

פונקציות טריגונומטריות

כדי לקבוע את אורכו של קטע שיוצר זווית ישרה כשהוא נחתך עם הצלע a, ניתן להשתמש ביחסים הבאים: אם ידועות הצלע b והזווית γ או הצלע c והזווית β, אז h(a)=b*sinγ או h(a)=c *sinβ.
אֵיפֹה:
γ - זווית בין הצלע b ל-a,
β היא הזווית בין הצלע c ל-a.

קשר עם רדיוס

אם המשולש המקורי רשום במעגל, אתה יכול להשתמש ברדיוס של מעגל כזה כדי לקבוע את הגובה. מרכזו ממוקם בנקודה שבה כל 3 הגבהים מצטלבים (מכל קודקוד) - האורתוסנטר, והמרחק ממנו לקודקוד (כל שהוא) הוא הרדיוס.

ואז h(a)=bc/2R, כאשר:
b, c - 2 צלעות אחרות של המשולש,
R הוא רדיוס המעגל המקיף את המשולש.

מצא את הגובה במשולש ישר זווית

בסוג זה של דמות גיאומטרית, 2 צלעות, כאשר מצטלבות, יוצרות זווית ישרה - 90 מעלות. לכן, אם אתה רוצה לקבוע את ערך הגובה בו, אז אתה צריך לחשב את הגודל של אחת הרגליים, או את גודל הקטע היוצר 90 מעלות עם התחתון. בעת ייעוד:
a, b - רגליים,
c - תחתון,
h(c) - מאונך ליותר התחתון.
אתה יכול לבצע את החישובים הדרושים באמצעות הקשרים הבאים:

• משפט פיתגורס:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, כי S=ab/2, ואז h(c)=ab/c.

• פונקציות טריגונומטריות:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

מצא את גובהו של משולש שווה שוקיים

דמות גיאומטרית זו נבדלת בנוכחותם של שני צדדים בגודל שווה ושלישית - הבסיס. כדי לקבוע את הגובה הנמשך לצד השלישי, המובחן, משפט פיתגורס בא לעזרה. עם סימון
צד –
c – בסיס,
h(c) הוא קטע ל-c בזווית של 90°, ואז h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).