Trigonometria. Cerchio trigonometrico. Cerchio unitario. Cerchio numerico. Cos'è? Protezione delle informazioni personali

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Attenzione! Le anteprime delle diapositive sono solo a scopo informativo e potrebbero non rappresentare tutte le funzionalità della presentazione. Se sei interessato a quest'opera, scarica la versione completa.

Bersaglio: insegnare come utilizzare il cerchio unitario per risolvere vari problemi trigonometrici.

In un corso di matematica scolastica sono possibili varie opzioni per introdurre le funzioni trigonometriche. Il più comodo e utilizzato frequentemente è il “cerchio con unità numerica”. La sua applicazione nell'argomento "Trigonometria" è molto ampia.

Il cerchio unitario viene utilizzato per:

– definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo;
– trovare i valori delle funzioni trigonometriche per alcuni valori dell’argomento numerico e angolare;
– derivazione di formule trigonometriche di base;
– derivazione di formule di riduzione;
– trovare il dominio di definizione e l’intervallo dei valori delle funzioni trigonometriche;
– determinazione della periodicità delle funzioni trigonometriche;
– determinazione di parità e disparità di funzioni trigonometriche;
– determinazione degli intervalli di funzioni trigonometriche crescenti e decrescenti;
– determinazione di intervalli di segno costante di funzioni trigonometriche;
– misura in radianti degli angoli;
– trovare i valori delle funzioni trigonometriche inverse;
– soluzione delle più semplici equazioni trigonometriche;
– risolvere semplici disuguaglianze, ecc.

Pertanto, la padronanza attiva e consapevole di questo tipo di visualizzazione da parte degli studenti offre innegabili vantaggi per padroneggiare la sezione della matematica “Trigonometria”.

L'uso delle TIC nelle lezioni di insegnamento della matematica rende più facile padroneggiare il cerchio delle unità numeriche. Naturalmente la lavagna interattiva ha una vasta gamma di applicazioni, ma non tutte le aule ce l'hanno. Se parliamo dell'uso delle presentazioni, su Internet c'è un'ampia scelta e ogni insegnante può trovare l'opzione più adatta per le proprie lezioni.

Cosa c'è di speciale nella presentazione che sto presentando?

Questa presentazione suggerisce vari casi d'uso e non vuole essere una dimostrazione di una lezione specifica sull'argomento "Trigonometria". Ogni diapositiva di questa presentazione può essere utilizzata separatamente, sia nella fase di spiegazione del materiale, sviluppo delle competenze, sia per la riflessione. Durante la creazione di questa presentazione, è stata prestata particolare attenzione alla sua "leggibilità" a lunga distanza, poiché il numero di studenti ipovedenti è in costante aumento. La combinazione di colori è stata pensata, gli oggetti logicamente correlati sono uniti da un unico colore. La presentazione è animata in modo tale che l'insegnante possa commentare un frammento della slide e lo studente possa porre una domanda. Pertanto, questa presentazione è una sorta di tavoli “mobili”. Le ultime diapositive non sono animate e vengono utilizzate per testare la padronanza del materiale durante la risoluzione di compiti trigonometrici. Il cerchio sulle diapositive è semplificato il più possibile nell'aspetto ed è il più vicino possibile a quello raffigurato sul quaderno dagli studenti. Ritengo fondamentale questa condizione. È importante che gli studenti si formino un'opinione sul cerchio unitario come forma di chiarezza accessibile e mobile (sebbene non l'unica) quando risolvono compiti trigonometrici.

Questa presentazione aiuterà gli insegnanti a introdurre gli studenti al cerchio unitario nelle lezioni di geometria del 9° anno quando studiano l'argomento "Relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo". E, naturalmente, aiuterà ad espandere e approfondire la capacità di lavorare con il cerchio unitario quando si risolvono problemi trigonometrici per gli studenti senior nelle lezioni di algebra.

Diapositive 3, 4 spiegare la costruzione di una circonferenza unitaria; il principio di determinare la posizione di un punto sul cerchio unitario nel 1o e 2o quarto di coordinata; transizione dalle definizioni geometriche delle funzioni seno e coseno (in un triangolo rettangolo) a quelle algebriche sulla circonferenza unitaria.

Diapositive 5-8 spiegare come trovare i valori delle funzioni trigonometriche per gli angoli principali del primo quadrante di coordinate.

Diapositive 9-11 spiega i segni delle funzioni nei quartieri coordinati; determinazione di intervalli di segno costante di funzioni trigonometriche.

Diapositiva 12 utilizzato per formare idee sui valori degli angoli positivi e negativi; familiarità con il concetto di periodicità delle funzioni trigonometriche.

Diapositive 13, 14 vengono utilizzati quando si passa alla misura dell'angolo in radianti.

Diapositive 15-18 non sono animati e vengono utilizzati per risolvere vari compiti trigonometrici, consolidare e verificare i risultati della padronanza del materiale.

1. Frontespizio.
2. Impostazione degli obiettivi.
3. Costruzione di una circonferenza unitaria. Valori di base degli angoli in gradi.
4. Determinazione del seno e del coseno di un angolo su una circonferenza unitaria.
5. Valori della tabella per seno in ordine crescente.
6. Valori della tabella per coseno in ordine crescente.
7. Valori della tabella per la tangente in ordine crescente.
8. Valori della tabella per cotangente in ordine crescente.
9. Segni di funzione peccato α.
10. Segni di funzione cosα.
11. Segni di funzione marrone chiaro α E ctgα.
12. Valori positivi e negativi degli angoli sulla circonferenza unitaria.
13. Misura dell'angolo in radianti.
14. Valori angolari positivi e negativi in ​​radianti sulla circonferenza unitaria.
15. Varie opzioni per un cerchio unitario per consolidare e verificare i risultati della padronanza del materiale.

Diciamo che Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga ed è mille passi indietro. Durante il tempo impiegato da Achille per percorrere questa distanza, la tartaruga farà cento passi nella stessa direzione. Quando Achille fa cento passi, la tartaruga striscia altri dieci passi e così via. Il processo continuerà all'infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Questo ragionamento divenne uno shock logico per tutte le generazioni successive. Aristotele, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Tutti consideravano, in un modo o nell'altro, l'aporia di Zenone. Lo shock è stato così forte che" ... le discussioni continuano ancora oggi; la comunità scientifica non è ancora riuscita a raggiungere un'opinione comune sull'essenza dei paradossi ... analisi matematica, teoria degli insiemi, nuovi approcci fisici e filosofici sono stati coinvolti nello studio della questione ; nessuno di loro è diventato una soluzione generalmente accettata al problema..."[Wikipedia, "L'Aporia di Zeno". Tutti capiscono di essere ingannati, ma nessuno capisce in cosa consiste l'inganno.

Da un punto di vista matematico Zenone nella sua aporia dimostrò chiaramente il passaggio dalla quantità a . Questa transizione implica applicazioni anziché permanenti. Per quanto ho capito, l'apparato matematico per l'utilizzo di unità di misura variabili non è stato ancora sviluppato, oppure non è stato applicato all'aporia di Zenone. Applicare la nostra solita logica ci porta in una trappola. Noi, a causa dell'inerzia del pensiero, applichiamo unità di tempo costanti al valore reciproco. Da un punto di vista fisico, sembra che il tempo rallenti fino a fermarsi completamente nel momento in cui Achille raggiunge la tartaruga. Se il tempo si ferma, Achille non può più correre più veloce della tartaruga.

Se capovolgiamo la nostra solita logica, tutto va a posto. Achille corre a velocità costante. Ogni segmento successivo del suo percorso è dieci volte più breve del precedente. Di conseguenza, il tempo impiegato per superarlo è dieci volte inferiore a quello precedente. Se applichiamo il concetto di “infinito” a questa situazione, allora sarebbe corretto dire “Achille raggiungerà la tartaruga con una rapidità infinita”.

Come evitare questa trappola logica? Rimanere in unità di tempo costanti e non passare a unità reciproche. Nel linguaggio di Zenone appare così:

Nel tempo impiegato da Achille per percorrere mille passi, la tartaruga ne farà cento nella stessa direzione. Durante il successivo intervallo di tempo uguale al primo, Achille percorrerà altri mille passi e la tartaruga ne farà cento. Adesso Achille è ottocento passi avanti alla tartaruga.

Questo approccio descrive adeguatamente la realtà senza paradossi logici. Ma questa non è una soluzione completa al problema. L’affermazione di Einstein sull’irresistibilità della velocità della luce è molto simile all’aporia di Zenone “Achille e la tartaruga”. Dobbiamo ancora studiare, ripensare e risolvere questo problema. E la soluzione va cercata non nei numeri infinitamente grandi, ma nelle unità di misura.

Un'altra interessante aporia di Zenone racconta di una freccia volante:

Una freccia volante è immobile, poiché in ogni momento è a riposo, e poiché è a riposo in ogni momento, è sempre a riposo.

In questa aporia, il paradosso logico viene superato in modo molto semplice: è sufficiente chiarire che in ogni momento una freccia volante è ferma in diversi punti dello spazio, il che, in effetti, è movimento. Qui occorre notare un altro punto. Da una fotografia di un'auto sulla strada è impossibile determinare né il fatto del suo movimento né la distanza da essa. Per determinare se un'auto si sta muovendo, sono necessarie due fotografie scattate dallo stesso punto in momenti diversi nel tempo, ma non è possibile determinare la distanza da esse. Per determinare la distanza da un'auto, sono necessarie due fotografie scattate da diversi punti nello spazio in un determinato momento, ma da esse non è possibile determinare il fatto del movimento (ovviamente, hai ancora bisogno di dati aggiuntivi per i calcoli, la trigonometria ti aiuterà ). Ciò su cui voglio attirare l'attenzione in particolare è che due punti nel tempo e due punti nello spazio sono cose diverse che non devono essere confuse, perché offrono diverse opportunità di ricerca.

Mercoledì 4 luglio 2018

Le differenze tra set e multiset sono descritte molto bene su Wikipedia. Vediamo.

Come puoi vedere, “non possono esserci due elementi identici in un insieme”, ma se ci sono elementi identici in un insieme, tale insieme è chiamato “multiinsieme”. Gli esseri ragionevoli non capiranno mai una logica così assurda. Questo è il livello dei pappagalli parlanti e delle scimmie ammaestrate, che non hanno intelligenza dalla parola “completamente”. I matematici agiscono come normali formatori, predicandoci le loro idee assurde.

C'era una volta, gli ingegneri che costruirono il ponte erano su una barca sotto il ponte mentre testavano il ponte. Se il ponte crollasse, il mediocre ingegnere morirebbe sotto le macerie della sua creazione. Se il ponte potesse sopportare il carico, il talentuoso ingegnere costruì altri ponti.

Non importa come i matematici si nascondano dietro la frase “attenzione, sono in casa”, o meglio, “la matematica studia concetti astratti”, c’è un cordone ombelicale che li collega indissolubilmente alla realtà. Questo cordone ombelicale è il denaro. Applichiamo la teoria matematica degli insiemi ai matematici stessi.

Abbiamo studiato molto bene la matematica e ora siamo seduti alla cassa a distribuire gli stipendi. Quindi un matematico viene da noi per i suoi soldi. Gli contiamo l'intero importo e lo disponiamo sul nostro tavolo in pile diverse, nelle quali mettiamo banconote dello stesso taglio. Poi prendiamo una banconota da ogni pila e diamo al matematico il suo “stipendio matematico”. Spieghiamo al matematico che riceverà le restanti fatture solo quando dimostrerà che un insieme senza elementi identici non è uguale a un insieme con elementi identici. È qui che inizia il divertimento.

Innanzitutto funzionerà la logica dei deputati: “Questo può essere applicato agli altri, ma non a me!” Poi inizieranno a rassicurarci che le banconote dello stesso taglio hanno numeri di banconota diversi, il che significa che non possono essere considerate gli stessi elementi. Ok, contiamo gli stipendi in monete: non ci sono numeri sulle monete. Qui il matematico inizierà a ricordare freneticamente la fisica: monete diverse hanno quantità diverse di sporco, la struttura cristallina e la disposizione degli atomi è unica per ogni moneta...

E ora mi sorge la domanda più interessante: dov'è la linea oltre la quale gli elementi di un multiinsieme si trasformano in elementi di un insieme e viceversa? Una linea del genere non esiste: tutto è deciso dagli sciamani, la scienza non è nemmeno vicina a mentire qui.

Guarda qui. Selezioniamo stadi di calcio con la stessa superficie di campo. Le aree dei campi sono le stesse, il che significa che abbiamo un multiset. Ma se guardiamo i nomi di questi stessi stadi, ne otteniamo tanti, perché i nomi sono diversi. Come puoi vedere, lo stesso insieme di elementi è sia un insieme che un multiinsieme. Che è corretto? E qui il matematico-sciamano-tagliente tira fuori dalla manica un asso di briscola e comincia a parlarci di un set o di un multiset. In ogni caso ci convincerà che ha ragione.

Per capire come operano gli sciamani moderni con la teoria degli insiemi, legandola alla realtà, è sufficiente rispondere a una domanda: in che modo gli elementi di un insieme differiscono dagli elementi di un altro insieme? Te lo mostrerò senza alcun "concepibile come non un tutto unico" o "non concepibile come un tutto unico".

Domenica 18 marzo 2018

La somma delle cifre di un numero è una danza degli sciamani con il tamburello, che non ha nulla a che vedere con la matematica. Sì, nelle lezioni di matematica ci viene insegnato a trovare la somma delle cifre di un numero e ad usarla, ma è per questo che sono sciamani, per insegnare ai loro discendenti le loro abilità e saggezza, altrimenti gli sciamani semplicemente si estingueranno.

Hai bisogno di prove? Apri Wikipedia e prova a trovare la pagina "Somma delle cifre di un numero". Lei non esiste. In matematica non esiste una formula che possa essere utilizzata per trovare la somma delle cifre di qualsiasi numero. Dopotutto, i numeri sono simboli grafici con cui scriviamo numeri, e nel linguaggio della matematica il compito suona così: "Trova la somma dei simboli grafici che rappresentano qualsiasi numero". I matematici non possono risolvere questo problema, ma gli sciamani possono farlo facilmente.

Scopriamo cosa e come fare per trovare la somma delle cifre di un dato numero. Quindi, prendiamo il numero 12345. Cosa bisogna fare per trovare la somma delle cifre di questo numero? Consideriamo tutti i passaggi in ordine.

1. Annota il numero su un pezzo di carta. Cosa abbiamo fatto? Abbiamo convertito il numero in un simbolo numerico grafico. Questa non è un'operazione matematica.

2. Tagliamo l'immagine risultante in più immagini contenenti i singoli numeri. Tagliare un'immagine non è un'operazione matematica.

3. Converti i singoli simboli grafici in numeri. Questa non è un'operazione matematica.

4. Aggiungi i numeri risultanti. Questa è matematica.

La somma delle cifre del numero 12345 è 15. Questi sono i “corsi di taglio e cucito” tenuti dagli sciamani e utilizzati dai matematici. Ma non è tutto.

Da un punto di vista matematico, non importa in quale sistema numerico scriviamo un numero. Quindi, in sistemi numerici diversi la somma delle cifre dello stesso numero sarà diversa. In matematica, il sistema numerico è indicato come pedice a destra del numero. Con il numero grande 12345, non voglio ingannarmi, consideriamo il numero 26 dell'articolo su. Scriviamo questo numero nei sistemi numerici binario, ottale, decimale ed esadecimale. Non esamineremo ogni passaggio al microscopio; lo abbiamo già fatto. Diamo un'occhiata al risultato.

Come puoi vedere, in diversi sistemi numerici la somma delle cifre dello stesso numero è diversa. Questo risultato non ha nulla a che fare con la matematica. È come se determinassi l’area di un rettangolo in metri e centimetri, otterresti risultati completamente diversi.

Lo zero ha lo stesso aspetto in tutti i sistemi numerici e non ha somma di cifre. Questo è un altro argomento a favore del fatto che. Domanda per i matematici: come si designa in matematica qualcosa che non è un numero? Che dire, per i matematici non esiste altro che i numeri? Posso permetterlo agli sciamani, ma non agli scienziati. La realtà non è solo una questione di numeri.

Il risultato ottenuto dovrebbe essere considerato come una prova che i sistemi numerici sono unità di misura dei numeri. Dopotutto, non possiamo confrontare numeri con diverse unità di misura. Se le stesse azioni con diverse unità di misura della stessa quantità portano a risultati diversi dopo averle confrontate, ciò non ha nulla a che fare con la matematica.

Cos'è la vera matematica? Ciò accade quando il risultato di un'operazione matematica non dipende dalla dimensione del numero, dall'unità di misura utilizzata e da chi esegue questa azione.

OH! Non è questo il bagno delle donne?
- Giovane donna! Questo è un laboratorio per lo studio della santità indefila delle anime durante la loro ascensione al cielo! Alone in alto e freccia verso l'alto. Quale altro bagno?

Femmina... L'alone in alto e la freccia in basso sono maschili.

Se una simile opera d'arte di design lampeggia davanti ai tuoi occhi più volte al giorno,

Allora non sorprende che all'improvviso trovi una strana icona nella tua macchina:

Personalmente mi sforzo di vedere meno quattro gradi in una persona che fa la cacca (una foto) (una composizione di più foto: un segno meno, il numero quattro, una designazione di gradi). E non penso che questa ragazza sia una sciocca che non conosce la fisica. Ha solo un forte stereotipo nella percezione delle immagini grafiche. E i matematici ce lo insegnano continuamente. Ecco un esempio.

1A non è “meno quattro gradi” o “uno a”. Questo è "uomo che fa la cacca" o il numero "ventisei" in notazione esadecimale. Quelle persone che lavorano costantemente con questo sistema numerico percepiscono automaticamente un numero e una lettera come un simbolo grafico.

La trigonometria, come scienza, ha avuto origine nell'antico Oriente. I primi rapporti trigonometrici furono derivati ​​dagli astronomi per creare un calendario e un orientamento accurati da parte delle stelle. Questi calcoli riguardavano la trigonometria sferica, mentre nel corso scolastico studiavano il rapporto tra i lati e gli angoli di un triangolo piano.

La trigonometria è una branca della matematica che si occupa delle proprietà delle funzioni trigonometriche e delle relazioni tra i lati e gli angoli dei triangoli.

Durante il periodo di massimo splendore della cultura e della scienza nel I millennio d.C., la conoscenza si diffuse dall'Antico Oriente alla Grecia. Ma le principali scoperte della trigonometria sono merito degli uomini del Califfato arabo. In particolare, lo scienziato turkmeno al-Marazwi introdusse funzioni come tangente e cotangente, e compilò le prime tabelle di valori per seno, tangente e cotangente. I concetti di seno e coseno furono introdotti dagli scienziati indiani. La trigonometria ha ricevuto molta attenzione nelle opere di grandi figure dell'antichità come Euclide, Archimede ed Eratostene.

Quantità fondamentali di trigonometria

Le funzioni trigonometriche di base di un argomento numerico sono seno, coseno, tangente e cotangente. Ognuno di essi ha il proprio grafico: seno, coseno, tangente e cotangente.

Le formule per calcolare i valori di queste quantità si basano sul teorema di Pitagora. È meglio noto agli scolari nella formulazione: "I pantaloni pitagorici sono uguali in tutte le direzioni", poiché la dimostrazione viene fornita utilizzando l'esempio di un triangolo rettangolo isoscele.

Seno, coseno e altre relazioni stabiliscono la relazione tra gli angoli acuti e i lati di qualsiasi triangolo rettangolo. Presentiamo le formule per calcolare queste quantità per l'angolo A e tracciamo le relazioni tra le funzioni trigonometriche:

Come puoi vedere, tg e ctg sono funzioni inverse. Se immaginiamo la gamba a come il prodotto del peccato A e dell'ipotenusa c, e la gamba b come cos A * c, otteniamo le seguenti formule per tangente e cotangente:

Cerchio trigonometrico

Graficamente il rapporto tra le quantità citate può essere rappresentato come segue:

Il cerchio, in questo caso, rappresenta tutti i possibili valori dell'angolo α - da 0° a 360°. Come si può vedere dalla figura, ciascuna funzione assume un valore negativo o positivo a seconda dell'angolo. Ad esempio, sin α avrà un segno “+” se α appartiene al 1° e al 2° quarto del cerchio, cioè è compreso tra 0° e 180°. Per α da 180° a 360° (III e IV quarto), sin α può assumere solo un valore negativo.

Proviamo a costruire tabelle trigonometriche per angoli specifici e scopriamo il significato delle quantità.

Valori di α pari a 30°, 45°, 60°, 90°, 180° e così via sono detti casi particolari. I valori delle funzioni trigonometriche per loro vengono calcolati e presentati sotto forma di tabelle speciali.

Questi angoli non sono stati scelti a caso. La designazione π nelle tabelle indica i radianti. Rad è l'angolo al quale la lunghezza dell'arco di un cerchio corrisponde al suo raggio. Questo valore è stato introdotto per stabilire una dipendenza universale; quando si calcola in radianti, la lunghezza effettiva del raggio in cm non ha importanza.

Gli angoli nelle tabelle per le funzioni trigonometriche corrispondono a valori in radianti:

Quindi non è difficile indovinare che 2π è un cerchio completo o 360°.

Proprietà delle funzioni trigonometriche: seno e coseno

Per considerare e confrontare le proprietà di base di seno e coseno, tangente e cotangente, è necessario disegnare le loro funzioni. Questo può essere fatto sotto forma di una curva situata in un sistema di coordinate bidimensionale.

Considera la tabella comparativa delle proprietà di seno e coseno:

Determinare se una funzione è pari o meno è molto semplice. Basta immaginare un cerchio trigonometrico con i segni delle quantità trigonometriche e “piegare” mentalmente il grafico rispetto all'asse OX. Se i segni coincidono la funzione è pari, altrimenti è dispari.

L'introduzione dei radianti e l'elencazione delle proprietà fondamentali delle onde seno e coseno ci permettono di presentare il seguente schema:

È molto semplice verificare che la formula sia corretta. Ad esempio, per x = π/2, il seno è 1, così come il coseno di x = 0. La verifica può essere effettuata consultando tabelle o tracciando curve di funzione per valori dati.

Proprietà dei tangentisoidi e dei cotangentisoidi

I grafici delle funzioni tangente e cotangente differiscono significativamente dalle funzioni seno e coseno. I valori tg e ctg sono reciproci l'uno dell'altro.

1. Y = marrone chiaro x.
2. La tangente tende ai valori di y in x = π/2 + πk, ma non li raggiunge mai.
3. Il più piccolo periodo positivo della tangente è π.
4. Tg (- x) = - tg x, cioè la funzione è dispari.
5. Tg x = 0, per x = πk.
6. La funzione è crescente.
7. Tg x › 0, per x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, per x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivata (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Considera l'immagine grafica della cotangentoide qui sotto nel testo.

Principali proprietà dei cotangentoidi:

1. Y = lettino x.
2. A differenza delle funzioni seno e coseno, nella tangente Y può assumere i valori dell'insieme di tutti i numeri reali.
3. La cotangentoide tende ai valori di y in x = πk, ma non li raggiunge mai.
4. Il più piccolo periodo positivo di un cotangenteide è π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, cioè la funzione è dispari.
6. Ctg x = 0, per x = π/2 + πk.
7. La funzione è decrescente.
8. Ctg x › 0, per x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, per x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivata (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Corretto

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Cerchio trigonometrico. Cerchio unitario. Cerchio numerico. Cos'è?

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Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “tantissimo…”)

Molto spesso termini cerchio trigonometrico, cerchio unitario, cerchio numerico poco compreso dagli studenti. E completamente invano. Questi concetti sono un assistente potente e universale in tutte le aree della trigonometria. In realtà, questo è un cheat sheet legale! Ho disegnato un cerchio trigonometrico e ho subito visto le risposte! Allettante? Quindi impariamo, sarebbe un peccato non usare una cosa del genere. Inoltre, non è affatto difficile.

Per lavorare con successo con il cerchio trigonometrico, devi sapere solo tre cose.

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