טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה. מעגל טריגונומטרי. מעגל יחידה. עיגול מספרים. מה זה? הגנה על מידע אישי

אחורה קדימה

תשומת הלב! תצוגות מקדימות של השקופיות מיועדות למטרות מידע בלבד וייתכן שאינן מייצגות את כל התכונות של המצגת. אם אתה מעוניין בעבודה זו, אנא הורד את הגרסה המלאה.

יַעַד:ללמד כיצד להשתמש במעגל היחידה בפתרון בעיות טריגונומטריות שונות.

בקורס מתמטיקה בית ספרי אפשריות אפשרויות שונות להכנסת פונקציות טריגונומטריות. הנוח והנפוצה ביותר הוא "מעגל היחידה המספרית". היישום שלו בנושא "טריגונומטריה" נרחב מאוד.

מעגל היחידה משמש עבור:

- הגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של זווית;
- מציאת הערכים של פונקציות טריגונומטריות עבור כמה ערכים של הארגומנט המספרי והזוויתי;
– גזירת נוסחאות טריגונומטריה בסיסיות;
– גזירת נוסחאות הפחתה;
- מציאת תחום ההגדרה וטווח הערכים של פונקציות טריגונומטריות;
- קביעת המחזוריות של פונקציות טריגונומטריות;
- קביעת זוגיות ומוזרות של פונקציות טריגונומטריות;
- קביעת מרווחים של פונקציות טריגונומטריות גדלות ויורדות;
- קביעת מרווחים של סימן קבוע של פונקציות טריגונומטריות;
- מדידת רדיאן של זוויות;
- מציאת הערכים של פונקציות טריגונומטריות הפכות;
- פתרון המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר;
– פתרון אי שוויון פשוט וכו'.

לפיכך, השליטה הפעילה והמודעת של התלמידים בסוג זה של הדמיה מספקת יתרונות שאין להכחישה לשליטה בקטע "טריגונומטריה" במתמטיקה.

השימוש בתקשוב בשיעורי הוראת מתמטיקה מקל על השליטה במעגל היחידות המספריות. כמובן שללוח הלבן האינטראקטיבי יש מגוון רחב של יישומים, אבל לא בכל הכיתות יש את זה. אם נדבר על שימוש במצגות, יש מבחר רחב באינטרנט, וכל מורה יכול למצוא את האפשרות המתאימה ביותר לשיעורים שלו.

מה מיוחד במצגת שאני מציג?

מצגת זו מציעה מקרי שימוש שונים ואינה נועדה להוות הדגמה של שיעור ספציפי בנושא "טריגונומטריה". ניתן להשתמש בכל שקופית של מצגת זו בנפרד, הן בשלב הסבר החומר, פיתוח מיומנויות והן לרפלקציה. בעת יצירת מצגת זו, הוקדשה תשומת לב מיוחדת ל"קריאות" שלה ממרחק רב, שכן מספר התלמידים עם ראייה ירודה גדל כל הזמן. ערכת הצבעים נבחנה, אובייקטים הקשורים מבחינה לוגית מאוחדים בצבע אחד. המצגת מונפשת בצורה כזו שהמורה יכול להגיב על קטע מהשקופית והתלמיד יכול לשאול שאלה. לפיכך, מצגת זו היא סוג של שולחנות "זזים". השקופיות האחרונות אינן מונפשות ומשמשות לבדיקת שליטה בחומר תוך פתרון משימות טריגונומטריות. העיגול בשקופיות מפושט ככל האפשר במראהו וקרוב ככל האפשר לזה המתואר על נייר המחברת על ידי התלמידים. אני רואה בתנאי זה יסודי. חשוב לתלמידים לגבש דעה על מעגל היחידה כצורת בהירות נגישה וניידת (אם כי לא היחידה) בעת פתרון משימות טריגונומטריות.

מצגת זו תסייע למורים להכיר לתלמידים את מעגל היחידה בשיעורי גיאומטריה בכיתה ט' בעת לימוד הנושא "יחסים בין צלעות וזוויות של משולש". וכמובן, זה יעזור להרחיב ולהעמיק את מיומנות העבודה עם מעגל היחידה בעת פתרון בעיות טריגונומטריות לתלמידים בכירים בשיעורי אלגברה.

שקופיות 3, 4להסביר את בניית מעגל יחידה; העיקרון של קביעת מיקומה של נקודה על מעגל היחידה ברבעי הקואורדינטות הראשון והשני; מעבר מהגדרות גיאומטריות של הפונקציות סינוס וקוסינוס (במשולש ישר זווית) לאלגבריות במעגל היחידה.

שקופיות 5-8הסבר כיצד למצוא את הערכים של פונקציות טריגונומטריות עבור הזוויות העיקריות של ריבוע הקואורדינטות הראשון.

שקופיות 9-11מסביר את הסימנים של פונקציות ברבעי קואורדינטות; קביעת מרווחים של סימן קבוע של פונקציות טריגונומטריות.

שקופית 12משמש ליצירת רעיונות לגבי ערכי זווית חיוביים ושליליים; היכרות עם מושג המחזוריות של פונקציות טריגונומטריות.

שקופיות 13, 14משמשים בעת מעבר למדידת זווית רדיאן.

שקופיות 15-18אינם מונפשים ומשמשים בעת פתרון משימות טריגונומטריות שונות, איחוד ובדיקת תוצאות השליטה בחומר.

1. שַׁעַר.
2. הגדרת מטרה.
3. בניית מעגל יחידה. ערכים בסיסיים של זוויות במעלות.
4. קביעת הסינוס והקוסינוס של זווית על מעגל יחידה.
5. ערכי טבלה עבור סינוס בסדר עולה.
6. ערכי טבלה לקוסינוס בסדר עולה.
7. ערכי טבלה למשיק בסדר עולה.
8. ערכי טבלה לקוטנגנט בסדר עולה.
9. סימני פונקציה חטא α.
10. סימני פונקציה כי α.
11. סימני פונקציה שזוף αו ctg α.
12. ערכים חיוביים ושליליים של זוויות על מעגל היחידה.
13. מדד רדיאן של זווית.
14. ערכי זווית חיוביים ושליליים ברדיאנים על מעגל היחידה.
15. אפשרויות שונות למעגל יחידה לאיחוד ובדיקת תוצאות השליטה בחומר.

נניח שאכילס רץ פי עשרה מהר יותר מהצב ונמצא אחריו אלף צעדים. במהלך הזמן שלוקח לאכילס לרוץ את המרחק הזה, הצב יזחל מאה צעדים באותו כיוון. כשאכילס רץ מאה צעדים, הצב זוחל עוד עשרה צעדים וכן הלאה. התהליך יימשך עד האינסוף, אכילס לעולם לא ישיג את הצב.

נימוק זה הפך לזעזוע הגיוני עבור כל הדורות הבאים. אריסטו, דיוגנס, קאנט, הגל, הילברט... כולם חשבו על האפוריה של זנון בצורה כזו או אחרת. ההלם היה כל כך חזק ש" ... דיונים נמשכים עד היום, הקהילה המדעית עדיין לא הצליחה להגיע לדעה משותפת על מהות הפרדוקסים ... ניתוח מתמטי, תורת הקבוצות, גישות פיזיקליות ופילוסופיות חדשות היו מעורבות בחקר הנושא ; אף אחד מהם לא הפך לפתרון מקובל לבעיה..."[ויקיפדיה, "האפוריה של זינו". כולם מבינים שמטעים אותם, אבל אף אחד לא מבין ממה מורכבת ההונאה.

מנקודת מבט מתמטית, זנון באפוריה שלו הדגים בבירור את המעבר מכמות ל. מעבר זה מרמז על יישום במקום יישום קבוע. עד כמה שהבנתי, המנגנון המתמטי לשימוש ביחידות מדידה משתנות או שעדיין לא פותח, או שהוא לא יושם על האפוריה של זנון. יישום ההיגיון הרגיל שלנו מוביל אותנו למלכודת. אנו, בשל האינרציה של החשיבה, מיישמים יחידות זמן קבועות על הערך ההדדי. מנקודת מבט פיזית, זה נראה כמו הזמן שמאט עד שהוא נעצר לחלוטין ברגע שבו אכילס משיג את הצב. אם הזמן עוצר, אכילס כבר לא יכול לברוח מהצב.

אם נהפוך את ההיגיון הרגיל שלנו, הכל יסתדר. אכילס רץ במהירות קבועה. כל קטע עוקב בדרכו קצר פי עשרה מהקודם. בהתאם לכך, הזמן המושקע בהתגברות עליו קטן פי עשרה מהקודם. אם ניישם את המושג "אינסוף" במצב זה, אז נכון יהיה לומר "אכילס ישיג את הצב במהירות אינסופית."

איך להימנע מהמלכודת ההגיונית הזו? הישאר ביחידות זמן קבועות ואל תעבור ליחידות הדדיות. בשפתו של זינו זה נראה כך:

בזמן שלוקח לאכילס לרוץ אלף צעדים, הצב יזחל מאה צעדים באותו כיוון. במהלך מרווח הזמן הבא השווה לראשון, אכילס ירוץ עוד אלף צעדים, והצב יזחל מאה צעדים. כעת אכילס מקדים את הצב בשמונה מאות צעדים.

גישה זו מתארת ​​בצורה נאותה את המציאות ללא כל פרדוקסים לוגיים. אבל זה לא פתרון מלא לבעיה. ההצהרה של איינשטיין על אי-עמידה של מהירות האור דומה מאוד לאפוריה של זנון "אכילס והצב". אנחנו עדיין צריכים ללמוד, לחשוב מחדש ולפתור את הבעיה הזו. ואת הפתרון יש לחפש לא במספרים גדולים לאין שיעור, אלא ביחידות מדידה.

עוד אפוריה מעניינת של זינו מספרת על חץ מעופף:

חץ מעופף הוא ללא תנועה, שכן בכל רגע של זמן הוא במנוחה, ומכיוון שהוא במנוחה בכל רגע של זמן, הוא תמיד במנוחה.

באפוריה זו מתגברים בפשטות רבה על הפרדוקס הלוגי - די להבהיר שבכל רגע של זמן חץ מעופף נמצא במנוחה בנקודות שונות בחלל, שהיא, למעשה, תנועה. יש לציין כאן נקודה נוספת. מתצלום אחד של מכונית על הכביש אי אפשר לקבוע לא את עובדת תנועתה ולא את המרחק אליה. כדי לקבוע אם מכונית זזה, אתה צריך שני תמונות שצולמו מאותה נקודה בנקודות זמן שונות, אבל אתה לא יכול לקבוע את המרחק מהם. כדי לקבוע את המרחק למכונית, אתה צריך שני תצלומים שצולמו מנקודות שונות בחלל בנקודת זמן אחת, אבל מהם אתה לא יכול לקבוע את עובדת התנועה (כמובן, אתה עדיין צריך נתונים נוספים לחישובים, טריגונומטריה תעזור לך ). מה שאני רוצה להפנות אליו תשומת לב מיוחדת הוא ששתי נקודות זמן ושתי נקודות במרחב הן דברים שונים שאסור לבלבל, כי הם מספקים הזדמנויות שונות למחקר.

יום רביעי, 4 ביולי, 2018

ההבדלים בין קבוצה למולטי-ערכה מתוארים היטב בוויקיפדיה. בוא נראה.

כפי שאתה יכול לראות, "לא יכולים להיות שני אלמנטים זהים בקבוצה", אבל אם יש אלמנטים זהים בקבוצה, קבוצה כזו נקראת "רב-ערכה". יצורים סבירים לעולם לא יבינו היגיון אבסורדי שכזה. זו הרמה של תוכים מדברים וקופים מאומנים, שאין להם אינטליגנציה מהמילה "לגמרי". מתמטיקאים פועלים כמאמנים רגילים, ומטיפים לנו את הרעיונות האבסורדיים שלהם.

פעם, המהנדסים שבנו את הגשר היו בסירה מתחת לגשר בזמן שבדקו את הגשר. אם הגשר קרס, המהנדס הבינוני מת מתחת להריסות יצירתו. אם הגשר היה יכול לעמוד בעומס, המהנדס המוכשר בנה גשרים אחרים.

לא משנה איך מתמטיקאים מסתתרים מאחורי המשפט "תזכור לי, אני בבית", או ליתר דיוק, "מתמטיקה חוקרת מושגים מופשטים", יש חבל טבור אחד שמקשר אותם באופן בל יינתק עם המציאות. חבל הטבור הזה הוא כסף. הבה ניישם את תורת הקבוצות המתמטית על המתמטיקאים עצמם.

למדנו מתמטיקה טוב מאוד ועכשיו אנחנו יושבים בקופה ומחלקים משכורות. אז מתמטיקאי בא אלינו בשביל הכסף שלו. אנחנו סופרים לו את כל הסכום ופורסים אותו על שולחננו בערימות שונות, שאליהן שמים שטרות מאותה ערך. ואז אנחנו לוקחים שטר אחד מכל ערימה ונותנים למתמטיקאי את "קבוצת המשכורת המתמטית שלו". הבה נסביר למתמטיקאי שאת השטרות הנותרים הוא יקבל רק כאשר יוכיח שקבוצה ללא יסודות זהים אינה שווה לקבוצה בעלת יסודות זהים. כאן מתחיל הכיף.

קודם כל, ההיגיון של הצירים יעבוד: "אפשר להחיל את זה על אחרים, אבל לא עליי!" אז הם יתחילו להרגיע אותנו שלשטרות מאותו ערך יש מספרי שטרות שונים, מה שאומר שהם לא יכולים להיחשב לאותם אלמנטים. אוקיי, בואו נספור משכורות במטבעות - אין מספרים על המטבעות. כאן המתמטיקאי יתחיל להיזכר בפיזיקה בטירוף: למטבעות שונים יש כמויות שונות של לכלוך, מבנה הגביש וסידור האטומים ייחודי לכל מטבע...

ועכשיו יש לי את השאלה הכי מעניינת: איפה הקו שמעבר לו הופכים האלמנטים של קבוצה למרכיבים של קבוצה ולהיפך? קו כזה לא קיים - הכל נקבע על ידי שמאנים, המדע אפילו לא קרוב לשקר כאן.

תסתכל כאן. אנו בוחרים אצטדיוני כדורגל עם אותו שטח מגרש. השטחים של השדות זהים - מה שאומר שיש לנו מולטי-סט. אבל אם נסתכל על השמות של אותם אצטדיונים, נקבל הרבה, כי השמות שונים. כפי שאתה יכול לראות, אותה קבוצה של אלמנטים היא גם קבוצה וגם קבוצה. מה נכון? והנה המתמטיקאי-שאמאן-חריף שולף אס טרמפים מהשרוול שלו ומתחיל לספר לנו או על סט או על מולטי-סט. בכל מקרה הוא ישכנע אותנו שהוא צודק.

כדי להבין כיצד שמאנים מודרניים פועלים עם תורת הקבוצות, קושרים אותה למציאות, מספיק לענות על שאלה אחת: במה שונים האלמנטים של קבוצה אחת מהאלמנטים של קבוצה אחרת? אני אראה לך, בלי שום "מתקבל על הדעת כמכלול אחד" או "אינו מתקבל על הדעת כמכלול אחד".

יום ראשון, 18 במרץ, 2018

סכום הספרות של מספר הוא ריקוד של שמאנים עם טמבורין, שאין לו שום קשר למתמטיקה. כן, בשיעורי מתמטיקה מלמדים אותנו למצוא את סכום הספרות של מספר ולהשתמש בו, אבל בגלל זה הם שאמאנים, כדי ללמד את צאצאיהם את כישוריהם וחוכמתם, אחרת השמאנים פשוט ימותו.

אתה צריך הוכחה? פתחו את ויקיפדיה ונסו למצוא את העמוד "סכום ספרות של מספר". היא לא קיימת. אין נוסחה במתמטיקה שניתן להשתמש בה כדי למצוא את סכום הספרות של מספר כלשהו. הרי מספרים הם סמלים גרפיים איתם אנו כותבים מספרים, ובשפת המתמטיקה המשימה נשמעת כך: "מצא את סכום הסמלים הגרפיים המייצגים כל מספר". מתמטיקאים לא יכולים לפתור בעיה זו, אבל שמאנים יכולים לעשות זאת בקלות.

בואו נבין מה ואיך אנחנו עושים כדי למצוא את סכום הספרות של מספר נתון. וכך, נקבל את המספר 12345. מה צריך לעשות כדי למצוא את סכום הספרות של המספר הזה? בואו נשקול את כל השלבים לפי הסדר.

1. רשום את המספר על פיסת נייר. מה עשינו? המרנו את המספר לסמל מספר גרפי. זו לא פעולה מתמטית.

2. חתכנו תמונה אחת שנוצרה למספר תמונות המכילות מספרים בודדים. חיתוך תמונה אינו פעולה מתמטית.

3. המר סמלים גרפיים בודדים למספרים. זו לא פעולה מתמטית.

4. הוסף את המספרים המתקבלים. עכשיו זו מתמטיקה.

סכום הספרות של המספר 12345 הוא 15. אלו הם "קורסי הגזירה והתפירה" שמלמדים שמאנים בהם משתמשים מתמטיקאים. אבל זה לא הכל.

מנקודת מבט מתמטית, אין זה משנה באיזו מערכת מספרים נכתוב מספר. לכן, במערכות מספרים שונות סכום הספרות של אותו מספר יהיה שונה. במתמטיקה, מערכת המספרים מצוינת כמנוי מימין למספר. עם המספר הגדול 12345, אני לא רוצה להטעות את ראשי, בואו ניקח בחשבון את המספר 26 מהמאמר על. בוא נכתוב את המספר הזה במערכות מספרים בינאריות, אוקטליות, עשרוניות והקסדצימליות. לא נסתכל על כל שלב במיקרוסקופ; כבר עשינו את זה. בואו נסתכל על התוצאה.

כפי שניתן לראות, במערכות מספרים שונות סכום הספרות של אותו מספר שונה. לתוצאה זו אין שום קשר למתמטיקה. זה אותו דבר כאילו אם היית קובע את השטח של מלבן במטרים ובסנטימטרים, תקבל תוצאות שונות לחלוטין.

אפס נראה זהה בכל מערכות המספרים ואין לו סכום של ספרות. זוהי טענה נוספת בעד העובדה. שאלה למתמטיקאים: איך משהו שהוא לא מספר מוגדר במתמטיקה? מה, עבור מתמטיקאים שום דבר לא קיים מלבד מספרים? אני יכול לאפשר זאת לשמאנים, אבל לא למדענים. המציאות היא לא רק מספרים.

יש לראות בתוצאה המתקבלת כהוכחה לכך שמערכות מספרים הן יחידות מדידה למספרים. אחרי הכל, אנחנו לא יכולים להשוות מספרים עם יחידות מדידה שונות. אם אותן פעולות עם יחידות מדידה שונות של אותה כמות מביאות לתוצאות שונות לאחר השוואה ביניהן, אז אין לזה שום קשר למתמטיקה.

מהי מתמטיקה אמיתית? זאת כאשר התוצאה של פעולה מתמטית אינה תלויה בגודל המספר, ביחידת המדידה המשמשת ובמי שמבצע פעולה זו.

הו! זה לא שירות הנשים?
- אישה צעירה! זוהי מעבדה לחקר קדושת הנשמות הבלתי-דפילית בעת עלייתן לשמים! הילה למעלה וחץ למעלה. איזה עוד שירותים?

נקבה... ההילה למעלה והחץ למטה הם זכרים.

אם יצירת אומנות עיצובית כזו מהבהבת לנגד עיניכם מספר פעמים ביום,

אז זה לא מפתיע שפתאום אתה מוצא אייקון מוזר במכונית שלך:

אני אישית מתאמץ לראות מינוס ארבע מעלות באדם שעושה קקי (תמונה אחת) (קומפוזיציה של מספר תמונות: סימן מינוס, המספר ארבע, ייעוד מעלות). ואני לא חושב שהבחורה הזו טיפשה שלא יודעת פיזיקה. יש לה פשוט סטריאוטיפ חזק של תפיסת תמונות גרפיות. ומתמטיקאים מלמדים אותנו את זה כל הזמן. הנה דוגמה.

1A אינו "מינוס ארבע מעלות" או "א אחת". זה "אדם עושה קקי" או המספר "עשרים ושש" בסימון הקסדצימלי. אותם אנשים שעובדים כל הזמן במערכת המספרים הזו תופסים אוטומטית מספר ואות כסמל גרפי אחד.

טריגונומטריה, כמדע, מקורה במזרח העתיק. היחסים הטריגונומטריים הראשונים נגזרו על ידי אסטרונומים כדי ליצור לוח שנה מדויק וכיוון לפי הכוכבים. חישובים אלו התייחסו לטריגונומטריה כדורית, בעוד שבקורס בית הספר לומדים את היחס בין צלעות וזוויות של משולש מישורי.

טריגונומטריה היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות של פונקציות טריגונומטריות וביחסים בין צלעות וזוויות משולשים.

בתקופת הזוהר של התרבות והמדע באלף הראשון לספירה, התפשט הידע מהמזרח העתיק ליוון. אבל התגליות העיקריות של הטריגונומטריה הן הכשרון של אנשי הח'ליפות הערבית. במיוחד, המדען הטורקמני אל-מראזווי הציג פונקציות כמו טנגנס וקוטנגנט, וערך את טבלאות הערכים הראשונות עבור סינוסים, טנג'נסים וקוטנגנטים. המושגים של סינוס וקוסינוס הוצגו על ידי מדענים הודים. טריגונומטריה זכתה לתשומת לב רבה בעבודותיהם של דמויות כה גדולות מהעת העתיקה כמו אוקלידס, ארכימדס וארוטוסטנס.

כמויות בסיסיות של טריגונומטריה

הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות של ארגומנט מספרי הן סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי. לכל אחד מהם גרף משלו: סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי.

הנוסחאות לחישוב ערכי הכמויות הללו מבוססות על משפט פיתגורס. זה מוכר יותר לתלמידי בית הספר בניסוח: "מכנסיים פיתגוראים שווים לכל הכיוונים", שכן ההוכחה ניתנת באמצעות הדוגמה של משולש ישר זווית שווה שוקיים.

יחסי סינוס, קוסינוס ויחסים אחרים קובעים את הקשר בין הזוויות והצלעות החדות של כל משולש ישר זווית. הבה נציג נוסחאות לחישוב הכמויות הללו עבור זווית A ונתחקה אחר הקשרים בין פונקציות טריגונומטריות:

כפי שאתה יכול לראות, tg ו-ctg הם פונקציות הפוכות. אם נדמיין את רגל a כמכפלה של חטא A והתחתון c, ורגל b כ-cos A * c, נקבל את הנוסחאות הבאות למשיק ולקוטנגנטי:

מעגל טריגונומטרי

מבחינה גרפית, ניתן לייצג את הקשר בין הכמויות שהוזכרו באופן הבא:

המעגל, במקרה זה, מייצג את כל הערכים האפשריים של הזווית α - מ-0° ל-360°. כפי שניתן לראות מהאיור, כל פונקציה מקבלת ערך שלילי או חיובי בהתאם לזווית. לדוגמה, ל-sin α יהיה סימן "+" אם α שייך לרבע הראשון והשני של המעגל, כלומר, הוא נמצא בטווח שבין 0° ל-180°. עבור α מ-180° ל-360° (רבעים III ו-IV), sin α יכול להיות רק ערך שלילי.

בואו ננסה לבנות טבלאות טריגונומטריות לזוויות ספציפיות ולברר את משמעות הכמויות.

ערכים של α השווים ל-30°, 45°, 60°, 90°, 180° וכן הלאה נקראים מקרים מיוחדים. הערכים של פונקציות טריגונומטריות עבורם מחושבים ומוצגים בצורה של טבלאות מיוחדות.

זוויות אלו לא נבחרו באקראי. הכינוי π בטבלאות מיועד לרדיאנים. ראד היא הזווית שבה אורך קשת המעגל מתאים לרדיוס שלו. ערך זה הוכנס על מנת לבסס תלות אוניברסלית; בחישוב ברדיאנים, האורך האמיתי של הרדיוס בס"מ אינו משנה.

זוויות בטבלאות עבור פונקציות טריגונומטריות מתאימות לערכי רדיאן:

לכן, לא קשה לנחש ש-2π הוא מעגל שלם או 360°.

תכונות של פונקציות טריגונומטריות: סינוס וקוסינוס

על מנת לשקול ולהשוות את המאפיינים הבסיסיים של סינוס וקוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, יש צורך לצייר את הפונקציות שלהם. ניתן לעשות זאת בצורה של עקומה הממוקמת במערכת קואורדינטות דו מימדית.

שקול את טבלת המאפיינים ההשוואתית עבור סינוס וקוסינוס:

קביעה אם פונקציה זוגית או לא היא פשוטה מאוד. מספיק לדמיין מעגל טריגונומטרי עם סימני כמויות טריגונומטריות ונפשית "לקפל" את הגרף ביחס לציר OX. אם הסימנים עולים בקנה אחד, הפונקציה זוגית, אחרת היא אי זוגית.

הצגת הרדיאנים ורישום המאפיינים הבסיסיים של גלי סינוס וקוסינוס מאפשרים לנו להציג את הדפוס הבא:

קל מאוד לוודא שהנוסחה נכונה. לדוגמה, עבור x = π/2, הסינוס הוא 1, וכך גם הקוסינוס של x = 0. הבדיקה יכולה להיעשות על ידי עיון בטבלאות או על ידי מעקב אחר עקומות פונקציות עבור ערכים נתונים.

מאפיינים של טנגנסואידים וקוטנגנטים

הגרפים של הפונקציות המשיקות והקוטנגנטיות שונות באופן משמעותי מפונקציות הסינוס והקוסינוס. הערכים tg ו-ctg הם הדדיים אחד של השני.

1. Y = שיזוף x.
2. המשיק נוטה לערכי y ב-x = π/2 + πk, אך לעולם לא מגיע אליהם.
3. התקופה החיובית הקטנה ביותר של הטנגנואיד היא π.
4. Tg (- x) = - tg x, כלומר הפונקציה אי-זוגית.
5. Tg x = 0, עבור x = πk.
6. הפונקציה הולכת וגדלה.
7. Tg x › 0, עבור x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, עבור x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. נגזרת (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

שקול את התמונה הגרפית של הקוטנגנטואיד למטה בטקסט.

תכונות עיקריות של קוטנגנטואידים:

1. Y = מיטת תינוק x.
2. בניגוד לפונקציות הסינוס והקוסינוס, בטנגנואיד Y יכול לקבל את הערכים של קבוצת כל המספרים הממשיים.
3. הקוטנגנטואיד נוטה לערכים של y ב-x = πk, אך לעולם לא מגיע אליהם.
4. התקופה החיובית הקטנה ביותר של קוטנגנטואיד היא π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, כלומר הפונקציה אי-זוגית.
6. Ctg x = 0, עבור x = π/2 + πk.
7. הפונקציה הולכת ופוחתת.
8. Ctg x › 0, עבור x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, עבור x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. נגזרת (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x נכון

שמירה על פרטיותך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא סקור את נוהלי הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם כדי לזהות או ליצור קשר עם אדם ספציפי.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר עם הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח הודעות ותקשורת חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם אתה משתתף בהגרלת פרסים, בתחרות או בקידום מכירות דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

גילוי מידע לצדדים שלישיים

איננו חושפים את המידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במידת הצורך - בהתאם לחוק, הליך שיפוטי, בהליכים משפטיים ו/או על בסיס בקשות או בקשות ציבוריות מרשויות ממשלתיות בשטח הפדרציה הרוסית - לחשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה למטרות אבטחה, אכיפת חוק או חשיבות ציבורית אחרת.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים לצד השלישי היורש הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיזיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

כיבוד הפרטיות שלך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים תקני פרטיות ואבטחה לעובדים שלנו ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

מעגל טריגונומטרי. מעגל יחידה. עיגול מספרים. מה זה?

תשומת הלב!
ישנם נוספים
חומרים בסעיף מיוחד 555.
למי שהם מאוד "לא מאוד..."
ולמי ש"מאוד...")

לעתים קרובות מאוד מונחים מעגל טריגונומטרי, מעגל יחידה, מעגל מספריםלא מובן לתלמידים. ולשווא לגמרי. מושגים אלו הם מסייע חזק ואוניברסלי בכל תחומי הטריגונומטריה. למעשה, זהו דף רמאות חוקי! ציירתי עיגול טריגונומטרי ומיד ראיתי את התשובות! מפתה? אז בואו נלמד, זה יהיה חטא לא להשתמש בדבר כזה. יתר על כן, זה בכלל לא קשה.

כדי לעבוד בהצלחה עם המעגל הטריגונומטרי, אתה צריך לדעת רק שלושה דברים.

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.