Priprema za ispit iz matematike (nivo profila): zadaci, rješenja i objašnjenja. UPOTREBA u matematici (profil) Zadatak 7 ispitni profil

Priprema za ispit iz matematike (nivo profila): zadaci, rješenja i objašnjenja. UPOTREBA u matematici (profil) Zadatak 7 ispitni profil
Priprema za ispit iz matematike (nivo profila): zadaci, rješenja i objašnjenja. UPOTREBA u matematici (profil) Zadatak 7 ispitni profil
13.04.2021

Srednje opće obrazovanje

UMK linija G. K. Muravina. Algebra i počeci matematičke analize (10-11) (detaljno)

UMK Merzlyak linija. Algebra i počeci analize (10-11) (U)

Matematika

Priprema za ispit iz matematike (nivo profila): zadaci, rješenja i objašnjenja

Sa nastavnikom analiziramo zadatke i rješavamo primjere

Ispitni rad na nivou profila traje 3 sata 55 minuta (235 minuta).

Minimalni prag- 27 bodova.

Ispitni rad sastoji se od dva dijela koji se razlikuju po sadržaju, složenosti i broju zadataka.

Definicija svakog dijela rada je oblik zadataka:

  • 1. dio sadrži 8 zadataka (zadaci 1-8) s kratkim odgovorom u obliku cijelog broja ili konačnog decimalnog razlomka;
  • Dio 2 sadrži 4 zadatka (zadaci 9-12) s kratkim odgovorom u obliku cijelog broja ili konačnog decimalnog razlomka i 7 zadataka (zadaci 13-19) s detaljnim odgovorom (cjelovit zapis rješenja s obrazloženjem radnji izvedeno).

Panova Svetlana Anatolievna, nastavnik matematike najviše kategorije škole, radno iskustvo 20 godina:

„Da bi dobio školsku svjedodžbu, maturant mora položiti dva obavezna ispita u obliku Jedinstvenog državnog ispita, od kojih je jedan matematika. U skladu s Konceptom razvoja matematičkog obrazovanja u Ruskoj Federaciji, Jedinstveni državni ispit iz matematike podijeljen je u dva nivoa: osnovni i specijalizirani. Danas ćemo razmotriti opcije za nivo profila. "

Zadatak broj 1- testira sposobnost učesnika na USE da veštine stečene tokom 5-9 razreda osnovne matematike primene u praktičnim aktivnostima. Učesnik mora imati računske vještine, znati raditi s racionalnim brojevima, biti sposoban zaokružiti decimalne razlomke, biti sposoban pretvoriti jednu mjernu jedinicu u drugu.

Primjer 1. U stanu u kojem živi Peter ugrađen je vodomjer (brojilo) hladne vode. 1. maja, brojilo je pokazalo potrošnju od 172 kubika. m vode, a 1. juna - 177 kubika. m. Koliko bi Peter trebao platiti za hladnu vodu u maju, ako je cijena od 1 kubni metar. m hladne vode je 34 rubalja 17 kopejki? Odgovor dajte u rubljama.

Odluka:

1) Pronađite količinu potrošene vode mjesečno:

177 - 172 = 5 (kubika)

2) Pronađimo koliko novca ćemo platiti za potrošenu vodu:

34,17 5 = 170,85 (rub)

Odgovor: 170,85.


Zadatak broj 2-jedan je od najjednostavnijih ispitnih zadataka. Većina diplomaca uspješno se nosi s tim, što ukazuje na to da su savladali definiciju pojma funkcije. Tip zadatka broj 2 prema kodifikatoru zahtjeva je zadatak za upotrebu stečenih znanja i vještina u praktičnim aktivnostima i svakodnevnom životu. Zadatak broj 2 sastoji se od opisa pomoću funkcija različitih stvarnih odnosa između veličina i interpretacije njihovih grafova. Zadatak broj 2 testira sposobnost izdvajanja podataka predstavljenih u tabelama, dijagramima, grafikonima. Maturanti moraju biti sposobni odrediti vrijednost funkcije vrijednošću argumenta na različite načine definiranja funkcije i opisati ponašanje i svojstva funkcije prema njenom grafikonu. Također je potrebno moći pronaći najveću ili najmanju vrijednost na grafikonu funkcije i ucrtati grafikone proučavanih funkcija. Pogreške su slučajne u čitanju izjave o problemu, čitanju dijagrama.

# ADVERTISING_INSERT #

Primjer 2. Slika prikazuje promjenu tečajne vrijednosti jedne akcije rudarske kompanije u prvoj polovini aprila 2017. godine. 7. aprila, biznismen je stekao 1.000 akcija ove kompanije. 10. aprila prodao je tri četvrtine kupljenih dionica, a 13. aprila sve ostale. Koliko je biznismen izgubio kao rezultat ovih operacija?


Odluka:

2) 1000 3/4 = 750 (dionice) - čine 3/4 svih kupljenih dionica.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubalja) - biznismen je nakon prodaje dobio 1000 akcija.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (rubalja) - biznismen je izgubio kao rezultat svih operacija.

U zadatku broj 7 nivoa profila USE u matematici potrebno je pokazati znanje o izvedenoj funkciji i antiderivativu. U većini slučajeva dovoljno je jednostavno definiranje pojmova i razumijevanje značenja derivata.

Analiza tipičnih opcija za zadatke br. 7 USE iz matematike na nivou profila

Prva varijanta zadatka (demo verzija 2018)

Na slici je prikazan grafikon diferencijabilne funkcije y = f (x). Na apscisi je označeno devet točaka: x 1, x 2,…, x 9. Među tim točkama pronađite sve točke u kojima je izvod funkcije y = f (x) negativan. U odgovoru navedite broj pronađenih bodova.

Algoritam rješenja:
  1. Razmotrimo grafikon funkcije.
  2. Tražimo točke u kojima se funkcija smanjuje.
  3. Brojimo njihov broj.
  4. Zapisujemo odgovor.
Odluka:

1. Na grafikonu, funkcija se periodično povećava, periodično smanjuje.

2. U onih intelektualaca kod kojih se funkcija smanjuje, derivat ima negativne vrijednosti.

3. Ovi intervali sadrže točke x 3 , x 4 , x 5 , x devet. Postoje 4 takve točke.

Druga varijanta zadatka (od Yashchenko, br. 4)

Algoritam rješenja:
  1. Razmotrimo grafikon funkcije.
  2. Razmotrimo ponašanje funkcije u svakoj od točaka i znak izvedenice u njima.
  3. Pronađite točke na najvišoj vrijednosti izvoda.
  4. Zapisujemo odgovor.
Odluka:

1. Funkcija ima nekoliko intervala smanjenja i povećanja.

2. Tamo gdje se funkcija smanjuje. Izvod ima znak minus. Takvih ima među naznačenim. Ali na grafu postoje točke na kojima se funkcija povećava. Kod njih je derivat pozitivan. To su bodovi s apscisama -2 i 2.

3. Razmotrite grafikon u tačkama sa x = -2 i x = 2. U točki x = 2, funkcija se strmo penje, što znači da tangenta u ovom trenutku ima veći nagib. Prema tome, u tački sa apscisom 2. Izvod ima najveću vrednost.

Treća varijanta zadatka (od Yashchenko, br. 21)

Algoritam rješenja:
  1. Izjednačimo jednadžbe tangente i funkcije.
  2. Pojednostavljujemo rezultirajuću jednakost.
  3. Mi nalazimo diskriminatore.
  4. Odredite parametar ali, u kojem je rješenje jedinstveno.
  5. Zapisujemo odgovor.
Odluka:

1. Koordinate tačke dodira zadovoljavaju obje jednačine: tangentu i funkciju. Stoga možemo izjednačiti jednadžbe. Primit ćemo.

    1. ali)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (2 \ pi) (3) +2 \ pi k; \, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (\ frac (9 \ pi) (2); \ frac (14 \ pi) (3); \ frac (16 \ pi) (3); \ frac (11 \ pi) (2) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (6) \ desno) + \ cos x = \ sqrt (3) \ sin (2x) -1 \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju praznini \ (\ lijevo \).
    2. ali)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (\ pi) (3) +2 \ pi k; \, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (\ frac (5 \ pi) (2); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (11 \ pi) (3) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (6) \ desno) - \ cos x = \ sqrt (3) \ sin (2x) -1 \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [\ frac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ desno] \).
    3. ali)
      b)\ (- \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (3 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (4) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (2) \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (4) \ desno) + \ sqrt (2) \ cos x = \ sin (2x) -1 \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [- \ frac (5 \ pi) (2); - \ pi \ desno] \).
    4. ali)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k; \, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (\ frac (7 \ pi) (6); \ frac (3 \ pi) (2); \ frac (5 \ pi) (2) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (2) \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (4) \ desno) + \ sqrt (3) \ cos x = \ sin (2x) -1 \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [\ pi; \ frac (5 \ pi) (2) \ desno] \).
    5. ali)\ (\ pm \ frac (\ pi) (2) +2 \ pi k; \ pm \ frac (2 \ pi) (3) +2 \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- \ frac (11 \ pi) (2); - \ frac (16 \ pi) (3); - \ frac (14 \ pi) (3); - \ frac (9 \ pi) (2) \ )       ali) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (2) \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (4) \ desno) + \ cos x = \ sin (2x) -1 \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [- \ frac (11 \ pi) (2); -4 \ pi \ desno] \).
    6. ali)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (\ pi) (6) +2 \ pi k; \, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- \ frac (23 \ pi) (6); - \ frac (7 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (2) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (3) \ desno) -3 \ cos x = \ sin (2x) - \ sqrt (3) \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-4 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (2) \ desno] \).
    7. ali)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (3 \ pi) (4) +2 \ pi k; \, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (\ frac (13 \ pi) (4); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (9 \ pi) (2) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (3) \ desno) + \ sqrt (6) \ cos x = \ sin (2x) - \ sqrt (3) \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju praznini \ (\ lijevo \).
    1. ali)\ ((- 1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- \ frac (13 \ pi) (4) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (2) \ sin x + 2 \ sin \ lijevo (2x- \ frac (\ pi) (6) \ desno) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
      b)
    2. ali)
      b)\ (2 \ pi; 3 \ pi; \ frac (7 \ pi) (4) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (2) \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (4) \ desno) - \ sqrt (2) \ sin x = \ sin (2x) +1 \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [\ frac (3 \ pi) (2); 3 \ pi \ desno] \).
    3. ali)\ (\ pi k, (-1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (3) + \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- 3 \ pi; -2 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (3) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (3) \ sin x + 2 \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (6) \ desno) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ desno] \).
    4. ali)\ (\ pi k; (-1) ^ (k) \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k; k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- \ frac (19 \ pi) (6); -3 \ pi; -2 \ pi \)       ali) Riješite jednadžbu \ (\ sin x + 2 \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (6) \ desno) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [- \ frac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ desno] \).
    5. ali)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k; k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (\ frac (19 \ pi) (6); 3 \ pi; 2 \ pi \)       ali) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (3) \ desno) - \ sqrt (3) \ sin x = \ sin (2x) + \ sqrt (3) \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju praznini \ (\ lijevo \).
    6. ali)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- 3 \ pi; - \ frac (11 \ pi) (4); - \ frac (9 \ pi) (4); -2 \ pi \)       ali) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (6) \ sin x + 2 \ sin \ lijevo (2x- \ frac (\ pi) (3) \ desno) = \ sin (2x) - \ sqrt (3) \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [- \ frac (7 \ pi) (2); - 2 \ pi \ desno] \).
    1. ali)\ (\ pm \ frac (\ pi) (2) +2 \ pi k; \ pm \ frac (2 \ pi) (3) +2 \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (\ frac (7 \ pi) (2); \ frac (9 \ pi) (2); \ frac (14 \ pi) (3) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (2) \ sin (x + \ frac (\ pi) (4)) + \ cos (2x) = \ sin x -1 \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [\ frac (7 \ pi) (2); 5 \ pi \ desno] \).
    2. ali)\ (\ pm \ frac (\ pi) (2) +2 \ pi k; \ pm \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- \ frac (3 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (17 \ pi) (6) \)      ali) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin (x + \ frac (\ pi) (3)) + \ cos (2x) = \ sin x -1 \).
      b)
    3. ali)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \ pm \ frac (\ pi) (3) +2 \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (3); - \ frac (7 \ pi) (3) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin (x + \ frac (\ pi) (3)) - \ sqrt (3) \ cos (2x) = \ sin x + \ sqrt (3) \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ desno] \).
    4. ali)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \ pm \ frac (\ pi) (4) +2 \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (\ frac (5 \ pi) (2); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (15 \ pi) (4) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (2 \ sqrt (2) \ sin (x + \ frac (\ pi) (6)) - \ cos (2x) = \ sqrt (6) \ sin x +1 \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [\ frac (5 \ pi) (2); 4 \ pi; \ desno] \).
    1. ali)\ ((- - 1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (3) + \ pi k; \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (\ frac (11 \ pi) (3); 4 \ pi; 5 \ pi \)       ali) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (6) \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (4) \ desno) -2 \ cos ^ (2) x = \ sqrt (3) \ cos x-2 \ ).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [\ frac (7 \ pi) (2); 5 \ pi \ desno] \).
    2. ali)\ (\ pi k; (-1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- 3 \ pi; -2 \ pi; - \ frac (7 \ pi) (4) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (2 \ sqrt (2) \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (3) \ desno) +2 \ cos ^ (2) x = \ sqrt (6) \ cos x + 2 \) ...
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-3 \ pi; \ frac (-3 \ pi) (2) \ desno] \).
    3. ali)\ (\ frac (3 \ pi) (2) +2 \ pi k, \ frac (\ pi) (6) +2 \ pi k, \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (11 \ pi) (6); - \ frac (7 \ pi) (6) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (6) \ desno) -2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 x = \ cos x - \ sqrt (3) \).
      b)
    4. ali)\ (2 \ pi k; \ frac (\ pi) (2) + \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- \ frac (7 \ pi) (2) ;; - \ frac (5 \ pi) (2); -4 \ pi \)       ali) Riješite jednadžbu \ (\ cos ^ 2 x + \ sin x = \ sqrt (2) \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (4) \ desno) \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-4 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (2) \ desno] \).
    5. ali)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- 2 \ pi; - \ pi; - \ frac (13 \ pi) (6) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (6) \ desno) -2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 x = \ cos x -2 \ sqrt (3) \) .
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [- \ frac (5 \ pi) (2); - \ pi \ desno] \).
    1. ali)\ (\ pi k; - \ frac (\ pi) (6) +2 \ pi k; - \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- \ frac (5 \ pi) (6); - 2 \ pi; - \ pi \)       ali) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin ^ 2 x + \ sqrt (2) \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (4) \ desno) = \ cos x \).
      b)
    2. ali)\ (\ pi k; \ frac (\ pi) (4) +2 \ pi k; \ frac (3 \ pi) (4) +2 \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (\ frac (17 \ pi) (4); 3 \ pi; 4 \ pi \)       ali) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (6) \ sin ^ 2 x + \ cos x = 2 \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (6) \ desno) \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-2 \ pi; - \ frac (\ pi) (2) \ desno] \).
    1. ali)\ (\ pi k; \ pm \ frac (\ pi) (3) + \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (3 \ pi; \ frac (10 \ pi) (3); \ frac (11 \ pi) (3); 4 \ pi; \ frac (13 \ pi) (3) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (4 \ sin ^ 3 x = 3 \ cos \ lijevo (x- \ frac (\ pi) (2) \ desno) \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [3 \ pi; \ frac (9 \ pi) (2) \ desno] \).
    2. ali)
      b)\ (\ frac (5 \ pi) (2); \ frac (11 \ pi) (4); \ frac (13 \ pi) (4); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (15 \ pi) (4) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin ^ 3 \ lijevo (x + \ frac (3 \ pi) (2) \ desno) + \ cos x = 0 \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [\ frac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ desno] \).
    1. ali)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k, \ pm \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- \ frac (15 \ pi) (4); - \ frac (7 \ pi) (2); - \ frac (13 \ pi) (4); - \ frac (11 \ pi) (4); - \ frac (5 \ pi) (2); \)       ali) Riješite jednadžbu \ (2 \ cos ^ 3 x = \ sin \ lijevo (\ frac (\ pi) (2) -x \ desno) \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-4 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (2) \ desno] \).
    2. ali)\ (\ pi k, \ pm \ frac (\ pi) (6) + \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- \ frac (19 \ pi) (6); - 3 \ pi; - \ frac (17 \ pi) (6); - \ frac (13 \ pi) (6); - 2 \ pi; \)       ali) Riješite jednadžbu \ (4 \ cos ^ 3 \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (2) \ desno) + \ sin x = 0 \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [- \ frac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ desno] \).
    1. ali)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- \ frac (7 \ pi) (2); - \ frac (11 \ pi) (4); - \ frac (9 \ pi) (4) \)       ali) Riješite jednadžbu \ (\ sin 2x + 2 \ sin \ lijevo (2x- \ frac (\ pi) (6) \ desno) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [- \ frac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ desno] \).
    1. ali)\ (\ pi k; (-1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- 3 \ pi; -2 \ pi; - \ frac (11 \ pi) (6) \)       ali)       Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (3) \ desno) + \ cos (2x) = 1 + \ sqrt (3) \ cos x \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ desno] \).
    2. ali)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (3) + \ pi k, k \ u \ mathbb (Z) \)
      b)\ (- 3 \ pi; - \ frac (8 \ pi) (3); - \ frac (7 \ pi) (3); -2 \ pi \)       ali)       Riješite jednadžbu \ (2 \ sqrt (3) \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (3) \ desno) - \ cos (2x) = 3 \ cos x -1 \).
      b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ desno] \).

14 : Kutovi i udaljenosti u svemiru

    1. \ (\ frac (420) (29) \)
      ali)
      b) Pronađite udaljenost od točke \ (B \) do crte \ (AC_1 \), ako je \ (AB = 21, B_1C_1 = 16, BB_1 = 12 \).
    2. 12
      ali) Dokazati da je kut \ (ABC_1 \) ravan.
      b) Pronađite udaljenost od točke \ (B \) do crte \ (AC_1 \), ako je \ (AB = 15, B_1C_1 = 12, BB_1 = 16 \).
    3. \ (\ frac (120) (17) \) U cilindru je tvorba okomita na osnovnu ravninu. Tačke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od osnova cilindra, a tačke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze, i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
      ali) Dokazati da je kut \ (ABC_1 \) ravan.
      b) Pronađite udaljenost od točke \ (B \) do linije \ (AC_1 \), ako je \ (AB = 8, B_1C_1 = 9, BB_1 = 12 \).
    4. \ (\ frac (60) (13) \) U cilindru je tvorba okomita na osnovnu ravninu. Tačke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od osnova cilindra, a tačke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze, i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
      ali) Dokazati da je kut \ (ABC_1 \) ravan.
      b) Pronađite udaljenost od točke \ (B \) do crte \ (AC_1 \), ako je \ (AB = 12, B_1C_1 = 3, BB_1 = 4 \).
    1. \ (\ arctan \ frac (17) (6) \) U cilindru je tvorba okomita na osnovnu ravninu. Tačke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od osnova cilindra, a tačke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze, i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
      ali) Dokazati da je kut \ (ABC_1 \) ravan.
      b) Pronađite kut između ravne linije \ (AC_1 \) i \ (BB_1 \), ako je \ (AB = 8, B_1C_1 = 15, BB_1 = 6 \).
    2. \ (\ arctan \ frac (2) (3) \) U cilindru je tvorba okomita na osnovnu ravninu. Tačke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od osnova cilindra, a tačke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze, i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
      ali) Dokazati da je kut \ (ABC_1 \) ravan.
      b) Pronađite kut između prave linije \ (AC_1 \) i \ (BB_1 \), ako je \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
    1. 7.2 U cilindru je tvorba okomita na osnovnu ravninu. Tačke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od osnova cilindra, a tačke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze, i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
      ali)
      b) Pronađite udaljenost između ravnih linija \ (AC_1 \) i \ (BB_1 \), ako je \ (AB = 12, B_1C_1 = 9, BB_1 = 8 \).
    2. U cilindru je tvorba okomita na osnovnu ravninu. Tačke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od osnova cilindra, a tačke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze, i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
      ali) Dokazati da su pravci \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) okomiti.
      b) Pronađite udaljenost između ravnih linija \ (AC_1 \) i \ (BB_1 \), ako je \ (AB = 3, B_1C_1 = 4, BB_1 = 1 \).
    1. U cilindru je tvorba okomita na osnovnu ravninu. Tačke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od osnova cilindra, a tačke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze, i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
      ali) Dokazati da su pravci \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) okomiti.
      b) Pronađite površinu bočne površine cilindra ako je \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
    1. U cilindru je tvorba okomita na osnovnu ravninu. Tačke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od osnova cilindra, a tačke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze, i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
      ali) Dokazati da su pravci \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) okomiti.
      b) Pronađite ukupnu površinu cilindra ako je \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
    1. U cilindru je tvorba okomita na osnovnu ravninu. Tačke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od osnova cilindra, a tačke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze, i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
      ali) Dokazati da su pravci \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) okomiti.
      b) Pronađite volumen cilindra ako je \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
    2. U cilindru je tvorba okomita na osnovnu ravninu. Tačke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od osnova cilindra, a tačke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze, i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
      ali) Dokazati da su pravci \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) okomiti.
      b) Pronađite volumen cilindra ako je \ (AB = 7, B_1C_1 = 24, BB_1 = 10 \).
    3. U cilindru je tvorba okomita na osnovnu ravninu. Tačke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od osnova cilindra, a tačke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze, i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
      ali) Dokazati da su pravci \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) okomiti.
      b) Pronađite volumen cilindra ako je \ (AB = 21, B_1C_1 = 15, BB_1 = 20 \).
    1. \ (\ sqrt (5) \) U cilindru je tvorba okomita na osnovnu ravninu. Tačke \ (A \), \ (B \) i \ (C \) odabrane su na kružnici jedne od osnova cilindra, a tačka \ (C_1 \) na kružnici druge baze i \ (CC_1 \) je generator cilindra, a \ (AC \) - promjer baze. Poznato je da je ugao \ (ACB \) jednak 30 stepeni.
      ali) Dokažite da je kut između linija \ (AC_1 \) i \ (BC_1 \) 45 stepeni.
      b) Pronađite udaljenost od točke B do ravne crte \ (AC_1 \) ako \ (AB = \ sqrt (6), CC_1 = 2 \ sqrt (3) \).
    1. \ (4 \ pi \) U cilindru je tvorba okomita na osnovnu ravninu. Tačke \ (A \), \ (B \) i \ (C \) odabrane su na kružnici jedne od osnova cilindra, a tačka \ (C_1 \) na kružnici druge baze i \ (CC_1 \) je generator cilindra, a \ (AC \) - promjer baze. Poznato je da je kut \ (ACB \) jednak 30 °, \ (AB = \ sqrt (2), CC_1 = 2 \).
      ali) Dokažite da je kut između linija \ (AC_1 \) i \ (BC_1 \) 45 stepeni.
      b) Pronađite zapreminu cilindra.
    2. \ (16 \ pi \) U cilindru je tvorba okomita na osnovnu ravninu. Tačke \ (A \), \ (B \) i \ (C \) odabrane su na kružnici jedne od osnova cilindra, a tačka \ (C_1 \) na kružnici druge baze i \ (CC_1 \) je generator cilindra, a \ (AC \) - promjer baze. Poznato je da je kut \ (ACB \) jednak 45 °, \ (AB = 2 \ sqrt (2), CC_1 = 4 \).
      ali) Dokažite da je kut između linija \ (AC_1 \) i \ (BC \) 60 stepeni.
      b) Pronađite zapreminu cilindra.
    1. \ (2 \ sqrt (3) \) U kocki \ (ABCDA_1B_1C_1D_1 \) sve ivice su 6.
      ali) Dokazati da je kut između linija \ (AC \) i \ (BD_1 \) 60 °.
      b) Pronađite udaljenost između ravnih linija \ (AC \) i \ (BD_1 \).
    1. \ (\ frac (3 \ sqrt (22)) (5) \)
      ali)
      b) Pronađi \ (QP \), gdje je \ (P \) presječna točka ravnine \ (MNK \) i ivice \ (SC \), ako je \ (AB = SK = 6 \) i \ (SA = 8 \).
    1. \ (\ frac (24 \ sqrt (39)) (7) \) U pravilnoj piramidi \ (SABC \), točke \ (M \) i \ (N \) su središnje točke ivica \ (AB \) i \ (BC \). Na bočnom rubu \ (SA \) označena je točka \ (K \). Presjek piramide ravninom \ (MNK \) je četverokut čije se dijagonale susreću u točki \ (Q \).
      ali) Dokazati da tačka \ (Q \) leži u visini piramide.
      b) Pronađite volumen piramide \ (QMNB \) ako je \ (AB = 12, SA = 10 \) i \ (SK = 2 \).
    1. \ (\ arctan 2 \ sqrt (11) \) U pravilnoj piramidi \ (SABC \), točke \ (M \) i \ (N \) su središnje točke ivica \ (AB \) i \ (BC \). Na bočnom rubu \ (SA \) označena je točka \ (K \). Presjek piramide ravninom \ (MNK \) je četverokut čije se dijagonale susreću u točki \ (Q \).
      ali) Dokazati da tačka \ (Q \) leži u visini piramide.
      b) Pronađite kut između ravnina \ (MNK \) i \ (ABC \), ako je \ (AB = 6, SA = 12 \) i \ (SK = 3 \).
    1. \ (\ frac (162 \ sqrt (51)) (25) \) U pravilnoj piramidi \ (SABC \), točke \ (M \) i \ (N \) su središnje točke ivica \ (AB \) i \ (BC \). Na bočnom rubu \ (SA \) označena je točka \ (K \). Presjek piramide ravninom \ (MNK \) je četverokut čije se dijagonale susreću u točki \ (Q \).
      ali) Dokazati da tačka \ (Q \) leži u visini piramide.
      b) Pronađite područje presjeka piramide ravninom \ (MNK \), ako je \ (AB = 12, SA = 15 \) i \ (SK = 6 \).

15 : Nejednakosti

    1. \ ((- \ infty; -12] \ šalica \ lijevo (- \ frac (35) (8); 0 \ desno] \) Riješite nejednakost \ (\ log _ (11) (8x ^ 2 + 7) - \ log _ (11) \ lijevo (x ^ 2 + x + 1 \ desno) \ geq \ log _ (11) \ lijevo (\ frak (x) (x + 5) +7 \ desno)).
    2. \ ((- \ infty; -50] \ šalica \ lijevo (- \ frac (49) (8); 0 \ desno] \) Riješite nejednakost \ (\ log _ (5) (8x ^ 2 + 7) - \ log _ (5) \ lijevo (x ^ 2 + x + 1 \ desno) \ geq \ log _ (5) \ lijevo (\ frak (x) (x + 7) +7 \ desno)).
    3. \ ((- \ infty; -27] \ šalica \ lijevo (- \ frac (80) (11); 0 \ desno] \) Riješite nejednakost \ (\ log _7 (11x ^ 2 + 10) - \ log _7 \ lijevo (x ^ 2 + x + 1 \ desno) \ geq \ log _7 \ lijevo (\ frac (x) (x + 8) + 10 \ desno) \).
    4. \ ((- \ infty; -23] \ šalica \ lijevo (- \ frac (160) (17); 0 \ desno] \) Riješite nejednakost \ (\ log _2 (17x ^ 2 + 16) - \ log _2 \ lijevo (x ^ 2 + x + 1 \ desno) \ geq \ log _2 \ lijevo (\ frac (x) (x + 10) + 16 \ desno) \).
    1. \ (\ lijevo [\ frac (\ sqrt (3)) (3); + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (2 \ log _2 (x \ sqrt (3)) - \ log _2 \ lijevo (\ frac (x) (x + 1) \ desno) \ geq \ log _2 \ lijevo (3x ^ 2 + \ frac (1) (x) \ desno)).
    2. \ (\ lijevo (0; \ frac (1) (4) \ desno] \ šalica \ lijevo [\ frac (1) (\ sqrt (3)); 1 \ desno) \) Riješite nejednakost \ (2 \ log_3 (x \ sqrt (3)) - \ log_3 \ lijevo (\ frac (x) (1-x) \ desno) \ leq \ log_3 \ lijevo (9x ^ (2) + \ frac (1) (x) -4 \ desno) \).
    3. \ (\ lijevo (0; \ frac (1) (5) \ desno] \ šalica \ lijevo [\ frac (\ sqrt (2)) (2); 1 \ desno) \) Riješite nejednakost \ (2 \ log_7 (x \ sqrt (2)) - \ log_7 \ lijevo (\ frac (x) (1-x) \ desno) \ leq \ log_7 \ lijevo (8x ^ (2) + \ frac (1) (x) -5 \ desno)).
    4. \ (\ lijevo (0; \ frac (1) (\ sqrt (5)) \ desno] \ šalica \ lijevo [\ frac (1) (2); 1 \ desno) \) Riješite nejednakost \ (2 \ log_2 (x \ sqrt (5)) - \ log_2 \ lijevo (\ frac (x) (1-x) \ desno) \ leq \ log_2 \ lijevo (5x ^ (2) + \ frac (1) (x) -2 \ desno)).
    5. \ (\ lijevo (0; \ frac (1) (3) \ desno] \ šalica \ lijevo [\ frac (1) (2); 1 \ desno) \) Riješite nejednakost \ (2 \ log_5 (2x) - \ log_5 \ lijevo (\ frac (x) (1-x) \ desno) \ leq \ log_5 \ lijevo (8x ^ (2) + \ frac (1) (x ) -3 \ desno) \).
    1. \ ((0; 1] \ čaša \ čaša \ lijevo \) Riješite nejednakost \ (\ log _5 (4-x) + \ log _5 \ lijevo (\ frac (1) (x) \ desno) \ leq \ log _5 \ lijevo (\ frac (1) (x) -x + 3 \ desno) \).
    1. \ ((1; 1,5] \ čaša \ čaša \ čaša [3,5; + \ infty) \) Riješite nejednakost \ (\ log _5 (x ^ 2 + 4) - \ log _5 \ lijevo (x ^ 2-x + 14 \ desno) \ geq \ log _5 \ lijevo (1- \ frac (1) (x) \ desno) \).
    2. \ ((1; 1,5] \ šalica [4; + \ infty) \) Riješite nejednakost \ (\ log _3 (x ^ 2 + 2) - \ log _3 \ lijevo (x ^ 2-x + 12 \ desno) \ geq \ log _3 \ lijevo (1- \ frac (1) (x) \ desno) \).
    3. \ (\ lijevo (\ frac (1) (2); \ frac (2) (3) \ desno] \ šalica \ lijevo [5; + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (\ log _2 (2x ^ 2 + 4) - \ log _2 \ lijevo (x ^ 2-x + 10 \ desno) \ geq \ log _2 \ lijevo (2- \ frac (1) (x) \ desno) \).
    1. \ ((- 3; -2] \ čaša \) Riješite nejednakost \ (\ log_2 \ lijevo (\ frac (3) (x) +2 \ desno) - \ log_2 (x + 3) \ leq \ log_2 \ lijevo (\ frac (x + 4) (x ^ 2) \ desno) \).
    2. \ ([- 2; -1) \ šalica (0; 9] \) Riješite nejednakost \ (\ log_5 \ lijevo (\ frac (2) (x) +2 \ desno) - \ log_5 (x + 3) \ leq \ log_5 \ lijevo (\ frac (x + 6) (x ^ 2) \ desno) \).
    1. \ (\ lijevo (\ frac (\ sqrt (6)) (3); 1 \ desno) \ šalica \ lijevo (1; + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (\ log _5 (3x ^ 2-2) - \ log _5 x
    2. \ (\ lijevo (\ frac (2) (5); + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (\ log_3 (25x ^ 2-4) - \ log_3 x \ leq \ log_3 \ lijevo (26x ^ ​​2 + \ frac (17) (x) -10 \ desno) \).
    3. \ (\ lijevo (\ frac (5) (7); + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (\ log_7 (49x ^ 2-25) - \ log_7 x \ leq \ log_7 \ lijevo (50x ^ 2- \ frac (9) (x) +10 \ desno) \).
    1. \ (\ lijevo [- \ frac (1) (6); - \ frac (1) (24) \ desno) \ šalica (0; + \ infty) \) Riješite nejednakost \ (\ log_5 (3x + 1) + \ log_5 \ lijevo (\ frac (1) (72x ^ (2)) + 1 \ desno) \ geq \ log_5 \ lijevo (\ frac (1) (24x) + 1 \ desno) \).
    2. \ (\ lijevo [- \ frac (1) (4); - \ frac (1) (16) \ desno) \ šalica (0; + \ infty) \) Riješite nejednakost \ (\ log_3 (2x + 1) + \ log_3 \ lijevo (\ frac (1) (32x ^ (2)) + 1 \ desno) \ geq \ log_3 \ lijevo (\ frac (1) (16x) + 1 \ desno) \).
    1. \(1\) Riješite nejednakost \ (\ log _2 (3-2x) +2 \ log _2 \ left (\ frac (1) (x) \ right) \ leq \ log _2 \ left (\ frac (1) (x ^ (2 )) -2x + 2 \ desno) \).
    2. \((1; 3] \) Riješite nejednakost \ (\ log _2 (x-1) + \ log _2 \ lijevo (2x + \ frac (4) (x-1) \ desno) \ geq 2 \ log _2 \ left (\ frac (3x-1 ) (2) \ desno) \).
    3. \ (\ lijevo [\ frac (1+ \ sqrt (5)) (2); + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (\ log _2 (x-1) + \ log _2 \ lijevo (x ^ 2 + \ frac (1) (x-1) \ desno) \ leq 2 \ log _2 \ lijevo (\ frac (x ^ 2 + x-1) (2) \ desno) \).
    4. \ (\ lijevo [2; + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (2 \ log _2 (x) + \ log _2 \ lijevo (x + \ frac (1) (x ^ 2) \ desno) \ leq 2 \ log _2 \ lijevo (\ frac (x ^ 2 + x) (2) \ desno) \).
    1. \ (\ lijevo [\ frac (-5+ \ sqrt (41)) (8); \ frac (1) (2) \ desno) \) Riješite nejednakost \ (\ log _3 (1-2x) - \ log _3 \ lijevo (\ frac (1) (x) -2 \ desno) \ leq \ log _3 (4x ^ 2 + 6x-1) \).
    1. \ (\ lijevo [\ frac (1) (6); \ frac (1) (2) \ desno) \) Riješite nejednakost \ (2 \ log _2 (1-2x) - \ log _2 \ lijevo (\ frac (1) (x) -2 \ desno) \ leq \ log _2 (4x ^ 2 + 6x-1) \) .
    1. \ ((1; + \ infty) \) Riješite nejednakost \ (\ log _2 (x-1) + \ log _2 \ lijevo (2x + \ frac (4) (x-1) \ desno) \ geq \ log _2 \ lijevo (\ frac (3x-1) (2) \ desno) \).
    1. \ (\ lijevo [\ frac (11 + 3 \ sqrt (17)) (2); + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (\ log_2 (4x ^ 2-1) - \ log_2 x \ leq \ log_2 \ lijevo (5x + \ frac (9) (x) -11 \ desno) \).

18 : Jednadžbe, nejednakosti, sustavi s parametrom

    1. $$ \ lijevo (- \ frac (4) (3); - \ frac (3) (4) \ desno) \ šalica \ lijevo (\ frac (3) (4); 1 \ desno) \ šalica \ lijevo ( 1; \ frac (4) (3) \ desno) $$

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) (x + ay-5) (x + ay-5a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 16 \ kraj (niz ) \ kraj (matrica) \ desno. \)

    2. $$ \ lijevo (- \ frac (3 \ sqrt (7)) (7); - \ frac (\ sqrt (7)) (3) \ desno) \ cup \ lijevo (\ frac (\ sqrt (7)) (3); 1 \ desno) \ šalica \ lijevo (1; \ frac (3 \ sqrt (7)) (7) \ desno) $$

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) (x + ay-4) (x + ay-4a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 9 \ kraj (niz ) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    3. $$ \ lijevo (- \ frac (3 \ sqrt (5)) (2); - \ frac (2 \ sqrt (5)) (15) \ desno) \ cup \ lijevo (\ frac (2 \ sqrt (5 )) (15); 1 \ desno) \ šalica \ lijevo (1; \ frac (3 \ sqrt (5)) (2) \ desno) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) (x + ay-7) (x + ay-7a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 45 \ kraj (niz ) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    4. $$ \ lijevo (-2 \ sqrt (2); - \ frac (\ sqrt (2)) (4) \ desno) \ cup \ lijevo (\ frac (\ sqrt (2)) (4); 1 \ desno ) \ cup \ lijevo (1; 2 \ sqrt (2) \ desno) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) (x + ay-3) (x + ay-3a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 8 \ kraj (niz ) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    1. $$ (1- \ sqrt (2); 0) \ cup (0; 1.2) \ cup (1.2; 3 \ sqrt (2) -3) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2 + 2 (a-3) x-4ay + 5a ^ 2-6a = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    2. $$ (4-3 \ sqrt2; 1- \ frac (2) (\ sqrt5)) \ cup (1- \ frac (2) (\ sqrt5); 1+ \ frac (2) (\ sqrt5)) \ cup (\ frac (2) (3) + \ sqrt2; 4 + 3 \ sqrt2) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-4ax + 6x- (2a + 2) y + 5a ^ 2-10a + 1 = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    3. $$ \ lijevo (- \ frac (2+ \ sqrt (2)) (3); -1 \ desno) \ cup (-1; -0.6) \ cup (-0.6; \ sqrt (2) -2) $ $ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-4 (a + 1) x-2ay + 5a ^ 2 + 8a + 3 = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    4. $$ \ lijevo (\ frac (2) (9); 2 \ desno) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-4 (a + 1) x-2ay + 5a ^ 2-8a + 4 = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    5. $$ \ lijevo (3- \ sqrt2; \ frac (8) (5) \ desno) \ šalica \ lijevo (\ frac (8) (5); 2 \ desno) \ šalica \ lijevo (2; \ frac (3 + \ sqrt2) (2) \ desno) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-6 (a-2) x-2ay + 10a ^ 2 + 32-36a = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    6. $$ (1- \ sqrt2; 0) \ šalica (0; 0.8) \ šalica (0.8; 2 \ sqrt2-2) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-2 (a-4) x-6ay + 10a ^ 2-8a = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    1. $$ (2; 4) \ šalica (6; + \ infty) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 4-y ^ 4 = 10a-24 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = a \ kraj (niz) \ kraj (matrica ) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    2. $$ (2; 6-2 \ sqrt (2)) \ šalica (6 + 2 \ sqrt (2); + \ infty) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 4-y ^ 4 = 12a-28 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = a \ kraj (niz) \ kraj (matrica ) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    1. $$ \ lijevo (- \ frac (3) (14) (\ sqrt2-4); \ frac (3) (5) \ desno] \ cup \ lijevo [1; \ frac (3) (14) (\ sqrt2 +4) \ desno) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = a ^ 2 \\ x ^ 2 + y = | 4a-3 | \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    2. $$ (4-2 \ sqrt (2); \ frac (4) (3)) \ cup (4; 4 + 2 \ sqrt (2)) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = a ^ 2 \\ x ^ 2 + y = | 2a-4 | \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    3. $$ (5- \ sqrt (2); 4) \ cup (4; 5+ \ sqrt (2)) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = 2a-7 \\ x ^ 2 + y = | a-3 | \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    4. $$ \ lijevo (\ frac (1) (7) (4- \ sqrt2); \ frac (2) (5) \ desno) \ šalica \ lijevo (\ frac (2) (5); \ frac (1) (2) \ desno) \ šalica \ lijevo (\ frac (1) (2); \ frac (1) (7) (\ sqrt2 + 4) \ desno) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = a ^ 2 \\ x ^ 2 + y = | 4a-2 | \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    1. $$ \ lijevo (\ frac (-2- \ sqrt (2)) (3); -1 \ desno) \ cup (-1; -0.6) \ cup (-0.6; \ sqrt (2) -2) $ $ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) (x- (2a + 2)) ^ 2+ (ya) ^ 2 = 1 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj ( niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    2. $$ (1- \ sqrt (2); 0) \ cup (0; 1.2) \ cup (1.2; 3 \ sqrt (2) -3) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) (x- (3-a)) ^ 2+ (y-2a) ^ 2 = 9 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    1. $$ (- 9,25; -3) \ šalica (-3; 3) \ šalica (3; 9,25) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) y = (a + 3) x ^ 2 + 2ax + a-3 \\ x ^ 2 = y ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    2. $$ (- 4,25; -2) \ šalica (-2; 2) \ šalica (2; 4,25) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) y = (a + 2) x ^ 2-2ax + a-2 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    3. $$ (- 4,25; -2) \ šalica (-2; 2) \ šalica (2; 4,25) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) y = (a-2) x ^ 2-2ax-2 + a \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    1. $$ (- \ infty; -3) \ cup (-3; 0) \ cup (3; \ frac (25) (8)) $$ Pronaći sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih sistem

      \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) ax ^ 2 + ay ^ 2- (2a-5) x + 2ay + 1 = 0 \\ x ^ 2 + y = xy + x \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

      Jednadžba ima tačno četiri različita rješenja.

    1. $$ \ lijevo [0; \ frac (2) (3) \ desno] $$ Naći sve vrijednosti parametra a, za svaku od njih jednadžbu

      \ (\ sqrt (x + 2a-1) + \ sqrt (x-a) = 1 \)

      Ima barem jedno rješenje.

19 : Brojevi i njihova svojstva

HVALA TI

Projekti
  1. "Yagubov.RF" [Učitelji]
  2. "Yagubov.RF" [Matematika]

Program ispita, kao i prethodnih godina, sastoji se od materijala iz osnovnih matematičkih disciplina. Ulaznice će sadržavati matematičke, geometrijske i algebarske probleme.

U KIM USE 2020 nema promjena u matematici na nivou profila.

Karakteristike ispitnih zadataka iz matematike-2020

  • Prilikom pripreme za ispit iz matematike (profil) obratite pažnju na osnovne zahtjeve ispitnog programa. Dizajniran je za testiranje znanja dubinskog programa: vektorskih i matematičkih modela, funkcija i logaritama, algebarskih jednačina i nejednačina.
  • Vježbajte rješavanje zadataka odvojeno.
  • Važno je pokazati nestandardno razmišljanje.

Struktura ispita

Objedinjeni državni ispitni zadaci iz matematike profila podijeljeno u dva bloka.

  1. Dio - kratki odgovori, uključuje 8 zadataka kojima se provjerava osnovna matematička obuka i sposobnost primjene znanja iz matematike u svakodnevnom životu.
  2. Dio - kratko i detaljni odgovori... Sastoji se od 11 zadataka, od kojih 4 zahtijevaju kratak odgovor, a 7 - prošireni obrazloženjem izvršenih radnji.
  • Povećana složenost- zadaci 9-17 drugog dijela KIM-a.
  • Visok nivo složenosti- problemi 18-19 -. Ovaj dio ispitnih zadataka provjerava ne samo nivo matematičkog znanja, već i prisustvo ili odsustvo kreativnog pristupa rješavanju suhih „digitalnih“ zadataka, kao i učinkovitost sposobnosti da se znanje i vještine koriste kao profesionalni alat .

Bitan! Stoga, kad se pripremate za ispit, uvijek pojačajte teoriju iz matematike rješavanjem praktičnih problema.

Kako će se bodovi raspodijeliti

Zadaci prvog dijela KIM-a iz matematike bliski su USE testovima osnovnog nivoa, pa je nemoguće postići visoku ocjenu na njima.

Bodovi za svaki zadatak iz matematike nivoa profila podijeljeni su na sljedeći način:

  • za tačne odgovore na probleme br. 1-12 - po 1 bod;
  • Br. 13-15 - po 2;
  • Br. 16-17 - po 3;
  • Br. 18-19 - po 4.

Trajanje ispita i pravila ponašanja na ispitu

Da završi ispitni rad -2020 student je raspoređen 3 sata 55 minuta(235 minuta).

Za to vrijeme student ne bi trebao:

  • ponašati se bučno;
  • koristiti uređaje i druga tehnička sredstva;
  • otpisati;
  • pokušavate pomoći drugima ili tražite pomoć za sebe.

Za takve postupke ispitivač može biti izbačen iz publike.

Za državni ispit iz matematike dozvoljeno ponijeti sa samo ravnalom, ostatak materijala dobit ćete neposredno prije ispita. izdata na licu mjesta.

Učinkovita priprema rješenje je za mrežne testove iz matematike 2020. Odaberite i ostvarite maksimalan rezultat!