مثلثات. دایره مثلثاتی. دایره واحد. دایره اعداد آن چیست؟ حفاظت از اطلاعات شخصی

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

هدف:آموزش نحوه استفاده از دایره واحد هنگام حل مسائل مختلف مثلثاتی.

در درس ریاضی مدرسه، گزینه های مختلفی برای معرفی توابع مثلثاتی امکان پذیر است. راحت ترین و پرکاربردترین دایره واحد عددی است. کاربرد آن در مبحث "مثلثات" بسیار گسترده است.

دایره واحد برای موارد زیر استفاده می شود:

- تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه؛
- یافتن مقادیر توابع مثلثاتی برای برخی از مقادیر آرگومان عددی و زاویه ای.
- استخراج فرمول های مثلثاتی پایه؛
- استخراج فرمول های کاهش
- یافتن دامنه تعریف و دامنه مقادیر توابع مثلثاتی.
- تعیین تناوب توابع مثلثاتی.
- تعیین برابری و غریبی توابع مثلثاتی.
- تعیین فواصل افزایش و کاهش توابع مثلثاتی.
- تعیین فواصل علامت ثابت توابع مثلثاتی.
- اندازه گیری رادیانی زوایا
- یافتن مقادیر توابع مثلثاتی معکوس؛
- حل ساده ترین معادلات مثلثاتی
- حل نابرابری های ساده و غیره

بنابراین، تسلط فعال و آگاهانه دانش آموزان بر این نوع تجسم، مزایای غیرقابل انکاری را برای تسلط بر بخش «مثلثات» ریاضیات فراهم می کند.

استفاده از فناوری اطلاعات و ارتباطات در دروس تدریس ریاضی تسلط بر دایره واحد عددی را آسان می کند. البته، وایت برد تعاملی کاربردهای گسترده ای دارد، اما همه کلاس ها آن را ندارند. اگر در مورد استفاده از ارائه صحبت کنیم، انتخاب گسترده ای در اینترنت وجود دارد و هر معلمی می تواند مناسب ترین گزینه را برای درس های خود پیدا کند.

چه ویژگی خاصی در مورد ارائه ای که ارائه می کنم چیست؟

این ارائه موارد استفاده مختلفی را پیشنهاد می کند و در نظر گرفته نشده است که یک درس خاص در مبحث "مثلثات" را نشان دهد. هر اسلاید از این ارائه را می توان به طور جداگانه، هم در مرحله توضیح مطالب، هم در مرحله توسعه مهارت ها و هم برای تأمل استفاده کرد. هنگام ایجاد این ارائه، توجه ویژه ای به "خوانایی" آن از فاصله طولانی شد، زیرا تعداد دانش آموزان کم بینا به طور مداوم در حال افزایش است. طرح رنگ فکر شده است، اشیاء منطقی مرتبط با یک رنگ واحد متحد می شوند. ارائه به گونه ای متحرک است که معلم می تواند در مورد بخشی از اسلاید نظر دهد و دانش آموز می تواند سؤال بپرسد. بنابراین، این ارائه نوعی جداول "متحرک" است. اسلایدهای آخر متحرک نیستند و برای آزمایش تسلط بر مطالب در حین حل وظایف مثلثاتی استفاده می شوند. دایره روی اسلایدها تا حد امکان از نظر ظاهری ساده شده و تا حد امکان به دایره ای که دانش آموزان روی کاغذ دفترچه نشان داده اند نزدیک است. من این شرط را اساسی می دانم. برای دانش‌آموزان مهم است که در هنگام حل تکالیف مثلثاتی، در مورد دایره واحد به عنوان یک شکل قابل دسترس و متحرک (اگرچه نه تنها) وضوح شکل دهند.

این ارائه به معلمان کمک می کند تا هنگام مطالعه مبحث "روابط بین اضلاع و زوایای مثلث" دانش آموزان را با دایره واحد در درس هندسه پایه نهم آشنا کنند. و البته به گسترش و تعمیق مهارت کار با دایره واحد هنگام حل مسائل مثلثاتی برای دانش آموزان ارشد در درس های جبر کمک می کند.

اسلایدهای 3، 4توضیح ساخت دایره واحد؛ اصل تعیین محل یک نقطه روی دایره واحد در ربع مختصات 1 و 2. انتقال از تعاریف هندسی توابع سینوس و کسینوس (در مثلث قائم الزاویه) به تعاریف جبری روی دایره واحد.

اسلایدهای 5-8توضیح دهید که چگونه مقادیر توابع مثلثاتی را برای زوایای اصلی ربع مختصات اول پیدا کنید.

اسلایدهای 9-11علائم توابع را در یک چهارم مختصات توضیح می دهد. تعیین فواصل علامت ثابت توابع مثلثاتی.

اسلاید 12برای ایجاد ایده در مورد مقادیر زاویه مثبت و منفی استفاده می شود. آشنایی با مفهوم تناوبی توابع مثلثاتی

اسلایدهای 13، 14هنگام تغییر به اندازه گیری زاویه رادیانی استفاده می شود.

اسلایدهای 15-18متحرک نیستند و هنگام حل وظایف مختلف مثلثاتی، ادغام و بررسی نتایج تسلط بر مطالب استفاده می شوند.

1. صفحه عنوان.
2. تعیین هدف.
3. ساخت دایره واحد. مقادیر پایه زوایا بر حسب درجه
4. تعیین سینوس و کسینوس یک زاویه روی یک دایره.
5. مقادیر جدول برای سینوس به ترتیب صعودی.
6. مقادیر جدول برای کسینوس به ترتیب صعودی.
7. مقادیر جدول برای مماس به ترتیب صعودی.
8. مقادیر جدول برای کوتانژانت به ترتیب صعودی.
9. علائم عملکرد گناه α.
10. علائم عملکرد cos α.
11. علائم عملکرد قهوهای مایل به زرد αو ctg α.
12. مقادیر مثبت و منفی زوایا روی دایره واحد.
13. اندازه گیری رادیانی زاویه
14. مقادیر زاویه مثبت و منفی بر حسب رادیان روی دایره واحد.
15. گزینه های مختلف برای یک دایره واحد برای ادغام و بررسی نتایج تسلط بر مواد.

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل برای دویدن این مسافت طول می کشد، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم می دود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند تا بی نهایت ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، هیلبرت... همگی به نوعی به آپوریای زنون توجه داشتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث ها تا به امروز ادامه دارد؛ جامعه علمی هنوز نتوانسته است به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ها برسد ... تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای جدید فیزیکی و فلسفی در بررسی موضوع دخیل بودند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده برای مشکل تبدیل نشدند..."[ویکی‌پدیا، "Zeno's Aporia". همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب شامل چه چیزی است.

از نقطه نظر ریاضی، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از کمیت به . این انتقال به جای استفاده از موارد دائمی، کاربرد دارد. تا آنجا که من درک می کنم، دستگاه ریاضی برای استفاده از واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما به دلیل اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را به مقدار متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد که زمان کند می شود تا زمانی که آشیل به لاک پشت می رسد، به طور کامل متوقف می شود. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت پیشی بگیرد.

اگر منطق همیشگی خود را برگردانیم، همه چیز سر جای خود قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به واحدهای متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. بیانیه انیشتین در مورد مقاومت ناپذیری سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، تجدید نظر و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو درباره یک فلش پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان یک فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است، که در واقع حرکت است. در اینجا لازم است به نکته دیگری توجه شود. از یک عکس از یک ماشین در جاده نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین اینکه آیا یک ماشین در حال حرکت است یا خیر، نیاز به دو عکس دارید که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده اند، اما نمی توانید فاصله آنها را تعیین کنید. برای تعیین فاصله تا یک ماشین، به دو عکس گرفته شده از نقاط مختلف فضا در یک نقطه از زمان نیاز دارید، اما از روی آنها نمی توانید واقعیت حرکت را تعیین کنید (البته، هنوز برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند. ). چیزی که می خواهم توجه ویژه ای را به آن جلب کنم این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت های متفاوتی را برای تحقیق فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

تفاوت های بین مجموعه و چند مجموعه به خوبی در ویکی پدیا توضیح داده شده است. اجازه بدید ببینم.

همانطور که می بینید، "دو عنصر یکسان در یک مجموعه وجود ندارد"، اما اگر عناصر یکسان در یک مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "چند مجموعه" می گویند. موجودات معقول هرگز چنین منطق پوچ را درک نمی کنند. این سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که از کلمه "کاملا" هوشی ندارند. ریاضیدانان مانند مربیان معمولی عمل می کنند و ایده های پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساخته بودند در قایق زیر پل بودند و پل را آزمایش می کردند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط ​​زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت «به من فکر کن، من در خانه هستم» یا بهتر است بگوییم «ریاضی مفاهیم انتزاعی را مطالعه می‌کند» پنهان می‌شوند، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت مرتبط می‌کند. این بند ناف پول است. اجازه دهید نظریه مجموعه های ریاضی را برای خود ریاضیدانان به کار ببریم.

ما ریاضی را خیلی خوب خواندیم و الان پشت صندوق نشسته ایم و حقوق می دهیم. بنابراین یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او می شمریم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می گذاریم، که اسکناس های یک فرقه را در آن می گذاریم. سپس از هر انبوه یک اسکناس می گیریم و "مجموعه ریاضی دستمزد" را به ریاضیدان می دهیم. اجازه دهید به ریاضیدان توضیح دهیم که تنها زمانی اسکناس های باقی مانده را دریافت می کند که ثابت کند مجموعه ای بدون عناصر یکسان با مجموعه ای با عناصر یکسان برابر نیست. این جایی است که سرگرم کننده آغاز می شود.

اول از همه، منطق نمایندگان کار خواهد کرد: "این را می توان برای دیگران اعمال کرد، اما برای من نه!" سپس آنها شروع به اطمینان دادن به ما خواهند کرد که اسکناس‌های یک فرقه دارای شماره اسکناس‌های متفاوتی هستند، به این معنی که نمی‌توان آنها را عناصر یکسانی در نظر گرفت. خوب، بیایید حقوق ها را به سکه حساب کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار شروع به یادآوری فیزیک می کند: سکه های مختلف مقادیر مختلفی از خاک دارند، ساختار کریستالی و آرایش اتم ها برای هر سکه منحصر به فرد است...

و اکنون من جالب ترین سوال را دارم: خطی که فراتر از آن عناصر یک مولتی مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شوند کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم حتی به دروغ گفتن در اینجا نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مناطق فیلدها یکسان است - به این معنی که ما یک چند مجموعه داریم. اما اگر به اسامی همین استادیوم ها نگاه کنیم، به تعداد زیادی می رسیم، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، همان مجموعه عناصر هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. کدام درسته؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شارپیست یک خال از آستین خود بیرون می‌آورد و شروع می‌کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با تئوری مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه "مفهوم به عنوان یک کل واحد" یا "مصالح به عنوان یک کل واحد".

یکشنبه 18 مارس 2018

مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما به همین دلیل است که آنها شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه «مجموع ارقام یک عدد» را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که بتوان از آن برای یافتن مجموع ارقام هر عددی استفاده کرد. از این گذشته ، اعداد نمادهای گرافیکی هستند که با آنها اعداد را می نویسیم ، و در زبان ریاضیات این کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را پیدا کنید که نشان دهنده هر عددی است." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به راحتی انجام دهند.

بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع ارقام یک عدد معین را پیدا کنیم. و بنابراین، اجازه دهید عدد 12345 را داشته باشیم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد عدد گرافیکی تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.

2. یک تصویر حاصل را به چندین عکس که حاوی اعداد جداگانه هستند برش می دهیم. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.

3. نمادهای گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.

4. اعداد به دست آمده را اضافه کنید. حالا این ریاضی است.

مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 است. اینها "دوره های برش و دوخت" هستند که توسط شمن ها تدریس می شود و ریاضیدانان از آنها استفاده می کنند. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضی فرقی نمی کند که در کدام سیستم عددی عدد بنویسیم. بنابراین، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به عنوان زیرنویس در سمت راست عدد نشان داده می شود. با عدد بزرگ 12345، نمی خواهم سرم را گول بزنم، بیایید عدد 26 را از مقاله در مورد آن در نظر بگیریم. بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما هر مرحله را زیر میکروسکوپ نخواهیم دید، ما قبلاً این کار را انجام داده ایم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه ربطی به ریاضیات ندارد. مثل این است که اگر مساحت یک مستطیل را بر حسب متر و سانتی متر تعیین کنید، نتایج کاملاً متفاوتی می گیرید.

صفر در همه سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این یکی دیگر از استدلال ها به نفع این واقعیت است که. سوال برای ریاضیدانان: چگونه چیزی که عدد نیست در ریاضیات تعیین می شود؟ چه، برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ من می توانم این را برای شمن ها مجاز کنم، اما برای دانشمندان نه. واقعیت فقط اعداد نیست.

نتیجه به‌دست‌آمده باید به عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته، ما نمی توانیم اعداد را با واحدهای اندازه گیری مختلف مقایسه کنیم. اگر اقدامات یکسان با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت پس از مقایسه آنها به نتایج متفاوتی منجر شود، پس این ربطی به ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه یک عملیات ریاضی به اندازه عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی این عمل را انجام می دهد بستگی ندارد.

اوه اینجا دستشویی زنانه نیست؟
- زن جوان! این آزمایشگاهی است برای مطالعه قدوسیت بی عیب ارواح در هنگام عروج آنها به بهشت! هاله در بالا و فلش به بالا. چه توالت دیگری؟

ماده ... هاله بالا و فلش پایین نر هستند.

اگر چنین اثر هنری طراحی چندین بار در روز از جلوی چشمان شما چشمک بزند،

پس تعجب آور نیست که شما به طور ناگهانی نماد عجیبی را در ماشین خود پیدا کنید:

من شخصاً تلاش می‌کنم تا منهای چهار درجه را در یک فرد مدفوع ببینم (یک تصویر) (ترکیبی از چندین تصویر: علامت منفی، عدد چهار، تعیین درجه). و من فکر نمی کنم این دختر احمقی باشد که فیزیک نمی داند. او فقط یک کلیشه قوی از درک تصاویر گرافیکی دارد. و ریاضیدانان همیشه این را به ما می آموزند. در اینجا یک مثال است.

1A "منهای چهار درجه" یا "یک a" نیست. این "مرد مدفوع" یا عدد "بیست و شش" در نماد هگزا دسیمال است. افرادی که دائماً در این سیستم اعداد کار می کنند به طور خودکار یک عدد و یک حرف را به عنوان یک نماد گرافیکی درک می کنند.

مثلثات به عنوان یک علم در شرق باستان سرچشمه گرفته است. اولین نسبت های مثلثاتی توسط اخترشناسان برای ایجاد یک تقویم و جهت گیری دقیق توسط ستاره ها استخراج شد. این محاسبات مربوط به مثلثات کروی است، در حالی که در دوره مدرسه نسبت اضلاع و زوایای یک مثلث مسطح را مطالعه می کنند.

مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به ویژگی های توابع مثلثاتی و روابط بین اضلاع و زوایای مثلث ها می پردازد.

در دوران اوج فرهنگ و علم در هزاره اول پس از میلاد، دانش از شرق باستان به یونان گسترش یافت. اما اکتشافات اصلی مثلثات، شایستگی مردان خلافت عرب است. به ویژه دانشمند ترکمن المرازوی توابعی مانند مماس و کوتانژانت را معرفی کرد و اولین جداول مقادیر سینوس ها، مماس ها و کتانژانت ها را جمع آوری کرد. مفاهیم سینوس و کسینوس توسط دانشمندان هندی معرفی شد. مثلثات در آثار شخصیت های بزرگ دوران باستان مانند اقلیدس، ارشمیدس و اراتوستن مورد توجه بسیاری قرار گرفت.

کمیت های اصلی مثلثات

توابع مثلثاتی اصلی یک آرگومان عددی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت هستند. هر کدام از آنها نمودار مخصوص به خود را دارند: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.

فرمول های محاسبه مقادیر این مقادیر بر اساس قضیه فیثاغورث است. برای دانش آموزان مدرسه در فرمول بهتر شناخته شده است: "شلوار فیثاغورثی، در همه جهات برابر است"، زیرا اثبات با استفاده از مثال مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ارائه شده است.

سینوس، کسینوس و سایر روابط رابطه بین زوایای تند و اضلاع هر مثلث قائم الزاویه را برقرار می کنند. اجازه دهید فرمول هایی را برای محاسبه این مقادیر برای زاویه A ارائه کنیم و روابط بین توابع مثلثاتی را ردیابی کنیم:

همانطور که می بینید، tg و ctg توابع معکوس هستند. اگر پایه a را حاصل ضرب گناه A و هیپوتنوز c و پایه b را cos A * c تصور کنیم، فرمول های زیر را برای مماس و کوتانژانت به دست می آوریم:

دایره مثلثاتی

از نظر گرافیکی، رابطه بین مقادیر ذکر شده را می توان به صورت زیر نشان داد:

دایره، در این مورد، تمام مقادیر ممکن زاویه α - از 0 درجه تا 360 درجه را نشان می دهد. همانطور که از شکل مشخص است، هر تابع بسته به زاویه یک مقدار منفی یا مثبت می گیرد. به عنوان مثال، اگر α به ربع 1 و 2 دایره تعلق داشته باشد، یعنی در محدوده 0 تا 180 درجه باشد، sin α علامت "+" خواهد داشت. برای α از 180 درجه تا 360 درجه (ربع III و IV)، sin α فقط می تواند یک مقدار منفی باشد.

بیایید سعی کنیم جداول مثلثاتی را برای زوایای خاص بسازیم و معنای کمیت ها را دریابیم.

مقادیر α برابر با 30 درجه، 45 درجه، 60 درجه، 90 درجه، 180 درجه و غیره را موارد خاص می نامند. مقادیر توابع مثلثاتی برای آنها محاسبه و در قالب جداول ویژه ارائه می شود.

این زوایا به طور تصادفی انتخاب نشده اند. نام π در جداول برای رادیان است. راد زاویه ای است که طول کمان دایره با شعاع آن مطابقت دارد. این مقدار به منظور ایجاد یک وابستگی جهانی معرفی شد؛ هنگام محاسبه بر حسب رادیان، طول واقعی شعاع بر حسب سانتی متر اهمیتی ندارد.

زوایای جداول برای توابع مثلثاتی با مقادیر رادیان مطابقت دارد:

بنابراین، حدس زدن اینکه 2π یک دایره کامل یا 360 درجه است دشوار نیست.

ویژگی های توابع مثلثاتی: سینوس و کسینوس

برای در نظر گرفتن و مقایسه خصوصیات اساسی سینوس و کسینوس، مماس و کوتانژانت، لازم است توابع آنها ترسیم شود. این را می توان به صورت یک منحنی واقع در یک سیستم مختصات دو بعدی انجام داد.

جدول مقایسه ای خواص سینوس و کسینوس را در نظر بگیرید:

تعیین زوج بودن یا نبودن یک تابع بسیار ساده است. کافی است یک دایره مثلثاتی با علائم مقادیر مثلثاتی تصور کنید و نمودار را نسبت به محور OX به صورت ذهنی "تا" کنید. اگر نشانه ها منطبق باشند، تابع زوج است و در غیر این صورت فرد است.

معرفی رادیان‌ها و فهرست‌بندی ویژگی‌های اساسی امواج سینوسی و کسینوسی به ما امکان می‌دهد الگوی زیر را ارائه دهیم:

تأیید صحت فرمول بسیار آسان است. به عنوان مثال، برای x = π/2، سینوس 1 است، همانطور که کسینوس x = 0 است. بررسی را می توان با مراجعه به جداول یا با ردیابی منحنی های تابع برای مقادیر داده شده انجام داد.

خواص مماس‌سوئیدها و کوتانژانتزوئیدها

نمودار توابع مماس و کتانژانت به طور قابل توجهی با توابع سینوسی و کسینوس متفاوت است. مقادیر tg و ctg متقابل یکدیگر هستند.

1. Y = tan x.
2. مماس به مقادیر y در x = π/2 + πk تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.
3. کوچکترین دوره مثبت مماس، π است.
4. Tg (- x) = - tg x، یعنی تابع فرد است.
5. Tg x = 0، برای x = πk.
6. عملکرد در حال افزایش است.
7. Tg x › 0، برای x ε (πk، π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0، برای x ε (- π/2 + πk، πk).
9. مشتق (tg x) = 1/cos 2⁡x.

تصویر گرافیکی کوتانژانتوئید زیر را در متن در نظر بگیرید.

خواص اصلی کوتانژانتوئیدها:

1. Y = تخت x.
2. برخلاف توابع سینوس و کسینوس، در مماس Y می تواند مقادیر مجموعه تمام اعداد حقیقی را بگیرد.
3. کوتانژانتوئید به مقادیر y در x = πk تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.
4. کوچکترین دوره مثبت یک کوتانژانتوئید π است.
5. Ctg (- x) = - ctg x، یعنی تابع فرد است.
6. Ctg x = 0، برای x = π/2 + πk.
7. عملکرد در حال کاهش است.
8. Ctg x › 0، برای x ε (πk، π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0، برای x ε (π/2 + πk، πk).
10. مشتق (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x درست است

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

دایره مثلثاتی. دایره واحد. دایره اعداد آن چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

خیلی اوقات اصطلاحات دایره مثلثاتی، دایره واحد، دایره عددیدرک ضعیفی توسط دانش آموزان و کاملا بیهوده این مفاهیم یک دستیار قدرتمند و جهانی در تمام زمینه های مثلثات هستند. در واقع، این یک برگه تقلب قانونی است! یک دایره مثلثاتی کشیدم و بلافاصله جواب ها را دیدم! وسوسه انگیز؟ پس بیاموزیم، استفاده نکردن از چنین چیزی گناه است. علاوه بر این، به هیچ وجه دشوار نیست.

برای کار موفقیت آمیز با دایره مثلثاتی، فقط باید سه چیز را بدانید.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.