Poissonova distribucija. Zakon rijetkih događaja. Poissonova distribucija Poissonova distribucija za lutke

Kako su počeli stizati zahtjevi: „Gdje je Poisson? Gdje su zadaci na Poissonovoj formuli? i tako dalje. I tako ću početi sa privatnu upotrebu Poissonova distribucija - zbog velike potražnje za materijalom.

Zadatak je bolno euforično poznat:

A sljedeća dva zadatka se bitno razlikuju od prethodnih:

Primjer 4

Slučajna varijabla podliježe Poissonovom zakonu s matematičkim očekivanjem. Pronađite vjerovatnoću da će data slučajna varijabla uzeti vrijednost manju od njenog matematičkog očekivanja.

Razlika je u tome što ovdje govorimo UPRAVO o Poissonovoj distribuciji.

Rješenje: slučajna varijabla uzima vrijednosti sa vjerovatnoćama:

Po uslovu, , i ovdje je sve jednostavno: događaj se sastoji od tri nekompatibilni ishodi:

Vjerovatnoća da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od njenog matematičkog očekivanja.

Odgovori:

Sličan zadatak za razumijevanje:

Primjer 5

Slučajna varijabla podliježe Poissonovom zakonu s matematičkim očekivanjem. Pronađite vjerovatnoću da data slučajna varijabla poprimi pozitivnu vrijednost.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Osim aproksimacijabinomna distribucija(Primjeri 1-3), Poissonova distribucija je našla široku primjenu u teorija čekanja za vjerovatnoću karakteristiku najjednostavniji stream događaja. Pokušaću da budem sažet:

Neka neki sistem prima zahtjeve (telefonski pozivi, dolazni kupci, itd.). Tok aplikacije se zove najjednostavniji ako ispunjava uslove stacionarnost, nedostatak posledica I običan. Stacionarnost podrazumijeva da je intenzitet primjene konstantan i ne zavisi od doba dana, dana u sedmici ili drugih vremenskih okvira. Drugim riječima, nema "špice" i nema "mrtvog sata". Odsustvo posledica znači da verovatnoća pojave novih aplikacija ne zavisi od „praistorije“, tj. ne postoji nešto što je „jedna baka rekla“ a drugi „utrčali“ (ili obrnuto, pobjegli). I, konačno, svojstvo običnosti karakterizira činjenica da za dovoljno mali vremenski interval skoro nemoguće pojavljivanje dvije ili više aplikacija. "Dvije stare dame na vratima?" - ne, hvala, zgodnije je rezati po redu.

Dakle, neka neki sistem primi najjednostavniji tok zahtjeva sa srednjim intenzitetom aplikacije u određenoj jedinici vremena (minuta, sat, dan ili bilo koji drugi). Tada je vjerovatnoća da za dati vremenski period, sistem će primati tačno zahtjeve, jednak je:

Primjer 6

Pozivi taksi dispečeru predstavljaju najjednostavniji Poissonov tok sa prosječnim intenzitetom od 30 poziva na sat. Odrediti vjerovatnoću da: a) za 1 min. Primiće se 2-3 poziva, b) biće najmanje jedan poziv u roku od pet minuta.

Rješenje: koristite Poissonovu formulu:

a) S obzirom na stacionarnost toka, izračunavamo prosječan broj poziva po 1 minuti:
poziva - u prosjeku jedan minut.

Prema teoremi sabiranja vjerovatnoća nespojivih događaja:
- vjerovatnoća da će u kontrolnoj sobi biti primljena 2-3 poziva za 1 minut.

b) Izračunajte prosječan broj poziva u pet minuta:

U mnogim praktičnim problemima treba se pozabaviti slučajnim varijablama raspoređenim prema posebnom zakonu, koji se naziva Poissonov zakon.

Razmotrite diskontinuiranu slučajnu varijablu X, koji može uzeti samo nenegativne vrijednosti cijelih brojeva:

a redoslijed ovih vrijednosti je teoretski neograničen. Kažu da je slučajna varijabla X distribuira se prema Poissonovom zakonu ako je vjerovatnoća da poprimi određenu vrijednost T, izražava se formulom

Gdje A je neka pozitivna vrijednost tzv parametar Poissonov zakon.

Slučajna varijabilna distribucijska serija x, distribuiran prema Poissonovom zakonu ima oblik:

Uvjerimo se prije svega da niz vjerovatnoća dat formulom (5.9.1) može biti distribucijski niz, tj. zbir svih verovatnoća R t je jednako jedan. Imamo:

Ali

Slika 5.9.1 prikazuje poligone distribucije slučajne varijable x, raspodijeljeno prema Poissonovom zakonu, što odgovara različitim vrijednostima parametra A. Tabela 8 u dodatku prikazuje vrijednosti R t za razne A.

Hajde da definišemo glavne karakteristike - matematičko očekivanje i varijansu - slučajne varijable X distribuiran prema Poissonovom zakonu. Po definiciji matematičkog očekivanja

Rice. 5.9.1.

Prvi član sume (odgovarajući t = 0) jednaka je nuli, stoga se može započeti sa sumiranjem t = 1:

Označite t - 1 = k; Onda

Dakle, parametar A nije ništa drugo do matematičko očekivanje slučajne varijable x.

Da bismo odredili disperziju, prvo pronalazimo drugi početni moment veličine X:

Prema ranije dokazanom osim toga, dakle,

dakle, varijansa slučajne varijable, distribuiran prema Poissonovom zakonu, jednaka je njegovom matematičkom očekivanju a.

Ovo svojstvo Poissonove distribucije se često koristi u praksi da se odluči da li je hipoteza da je slučajna varijabla uvjerljiva X distribuiran prema Poissonovom zakonu. Za ovo se statističke karakteristike određuju iz iskustva – matematičkog očekivanja i varijanse – slučajne varijable. Ako su njihove vrijednosti bliske, onda to može poslužiti kao argument u korist hipoteze Poissonove distribucije; oštra razlika u ovim karakteristikama, naprotiv, svjedoči protiv hipoteze.

Definirajte za slučajnu varijablu x, raspoređena prema Poissonovom zakonu, vjerovatnoća da će uzeti vrijednost ne manju od date To. Označavamo ovu vjerovatnoću Rk:

Očigledno vjerovatnoća Rk može se izračunati kao zbir

Međutim, mnogo je lakše odrediti to iz vjerovatnoće suprotnog događaja:

Konkretno, vjerovatnoća da vrijednost X uzima pozitivnu vrijednost, izražava se formulom

Već smo spomenuli da mnogi praktični zadaci vode do Poissonove distribucije. Razmotrite jedan od tipičnih problema ove vrste.

Neka su tačke nasumično raspoređene na x-osi Ox (slika 5.9.2). Pretpostavimo da slučajna raspodjela bodova zadovoljava sljedeće uslove:

Rice. 5.9.2

• 1. Vjerovatnoća da jedan ili drugi broj tačaka padne na segment / zavisi samo od dužine ovog segmenta, ali ne zavisi od njegovog položaja na x-osi. Drugim riječima, tačke su raspoređene na x-osi sa istom prosječnom gustinom. Označimo ovu gustinu (tj. matematičko očekivanje broja tačaka po jedinici dužine) kao x.
• 2. Tačke su raspoređene na x-osi nezavisno jedna od druge, tj. vjerovatnoća da jedan ili drugi broj tačaka padne na dati segment ne zavisi od toga koliko ih padne na bilo koji drugi segment koji se ne preklapa s njim.
• 3. Vjerovatnoća da dvije ili više tačaka pogode malu površinu Ax je zanemarljivo mala u odnosu na vjerovatnoću da pogode jednu tačku (ovaj uslov znači da je dvije ili više tačaka praktično nemoguće poklopiti).

Izdvajamo određeni segment dužine / na osi apscise i razmatramo diskretnu slučajnu varijablu X je broj bodova koji padaju na ovaj segment. Moguće vrijednosti količine će biti

Pošto tačke padaju na segment nezavisno jedna od druge, teoretski je moguće da će ih biti proizvoljno veliki broj, tj. serija (5.9.6) se nastavlja u nedogled.

Dokažimo da je slučajna varijabla X ima Poissonovu distribuciju. Da bismo to učinili, izračunavamo vjerovatnoću R t da će na segmentu / tačno pasti T bodova.

Hajde da prvo riješimo jednostavniji problem. Razmotrimo mali presek Ax na osi Ox i izračunajmo verovatnoću da će bar jedna tačka pasti na ovaj presek. Mi ćemo argumentirati na sljedeći način. Matematičko očekivanje broja bodova koji padaju na ovaj segment je očigledno jednako hah(jer po jedinici dužine pada u prosjeku X bodova). Prema uslovu 3, za mali segment Ax može se zanemariti mogućnost da dvije ili više tačaka padnu na njega. Dakle, matematičko očekivanje hah broj tačaka koji padaju na presek Ax biće približno jednak verovatnoći da se pogodi jedna tačka na njoj (ili, što je ekvivalentno u našim uslovima, bar jedna).

Dakle, do infinitezimala višeg reda, za Ax -> 0, možemo pretpostaviti da je vjerovatnoća da će jedna (barem jedna) tačka pasti na segment Ax jednaka ha, a vjerovatnoća da nijedan pogodak nije jednaka 1 - HAH.

Koristimo ovo za izračunavanje vjerovatnoće R t pogađa segment / tačno T bodova. Podijelite segment / na P dužine jednakih dijelova. Dogovorimo se da elementarni segment Axe nazovemo "prazan",

ako nije uključivao nijedan poen, i "zauzet" ako je barem jedan ušao u njega. Prema gore navedenom, vjerovatnoća da će segment Ax biti "zauzet" približno je jednaka; vjerovatnoća

da se ispostavi da je "prazan" jednako je

Pošto su, prema uslovu 2, pogoci tačaka u segmentima koji se ne preklapaju nezavisni, onda su naši P segmenti se mogu smatrati kao P nezavisni "eksperimenti", u svakom od kojih se segment može "zauzeti" sa verovatnoćom. Nađimo verovatnoću da među P segmenti će biti tačno

T"zauzeto". Prema teoremi ponavljanja, ova vjerovatnoća je jednaka

ili, označavajući XI \u003d a,

Sa dovoljno velikim P ova vjerovatnoća je približno jednaka vjerovatnoći da se tačno pogodi segment / T bodova, jer pogodak dvije ili više tačaka na segmentu Ax ima zanemarljivu vjerovatnoću. Da biste pronašli tačnu vrijednost R t, potrebno je u izrazu (5.9.7) ići na granicu na P-> oo:

Transformirajmo izraz pod znakom granice:

Prvi razlomak i imenilac posljednjeg razlomka u izrazu (5.9.9) sa P -> oo očigledno teže jedinstvu. Izraz iz P ne zavisi. Brojač posljednjeg razlomka može se pretvoriti na sljedeći način:

At a izraz (5.9.10) teži ka e~ a.

Dakle, dokazano je da je vjerovatnoća pogađanja tačno T tačke u segment / izražava se formulom

Gdje a \u003d XI, one. magnitude X distribuiran prema Poissonovom zakonu sa parametrom A = XI.

Imajte na umu da vrijednost A u značenju je prosječan broj bodova po segmentu I.

Vrijednost R,(vjerovatnoća da vrijednost X uzima pozitivnu vrijednost) u ovom slučaju izražava vjerovatnoća od, taj segment I sadrži barem jednu tačku:

Dakle, vidjeli smo da se Poissonova distribucija javlja gdje neke tačke (ili drugi elementi) zauzimaju slučajan položaj nezavisno jedna od druge, a broj tih tačaka koje spadaju u neku oblast se računa. U našem slučaju, takva "regija" je bio segment / na x-osi. Međutim, naš zaključak se lako može proširiti na slučaj raspodjele tačaka u ravni (slučajno ravno polje tačaka) iu prostoru (slučajno prostorno polje tačaka). Lako je dokazati da ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

• 1) tačke su statistički ravnomerno raspoređene u polju sa prosečnom gustinom X
• 2) tačke padaju nezavisno u regione koji se ne preklapaju;
• 3) tačke se pojavljuju pojedinačno, a ne u parovima, trojkama itd., zatim broj tačaka x, pada u bilo koje područje D(ravno ili prostorno), distribuira se prema Poissonovom zakonu:

Gdje A- prosječan broj bodova koji spadaju u područje D.

Za ravno kućište

Gdje S D- područje regije D za prostorne

Gdje VD- zapremina površine D.

Imajte na umu da za prisustvo Poissonove distribucije broja tačaka koje spadaju u segment ili region, uslov konstantne gustine (X = const) nije bitan. Ako su druga dva uslova ispunjena, onda Poissonov zakon i dalje vrijedi, samo parametar A dobija drugačiji izraz: ne dobija se jednostavnim množenjem gustine X dužinom, površinom ili zapreminom regiona, ali integracijom promenljive gustine preko segmenta, površine ili zapremine (za više detalja, videti pododeljak 19.4).

Prisustvo nasumičnih tačaka rasutih na liniji, ravni ili volumenu nije jedini uslov pod kojim se javlja Poissonova distribucija. Može se, na primjer, dokazati da je Poissonov zakon ograničavajući za binomsku distribuciju:

ako se istovremeno usmjerava broj eksperimenata p to beskonačnost i verovatnoća R - na nulu i njihov proizvod itd zadržava konstantnu vrijednost:

Zaista, ovo ograničavajuće svojstvo binomske distribucije može se zapisati kao:

Ali iz uslova (5.9.13) slijedi da

Zamjenom (5.9.15) u (5.9.14) dobijamo jednakost

što smo mi upravo dokazali drugom prilikom.

Ovo ograničavajuće svojstvo binomnog zakona često nalazi primenu u praksi. Pretpostavimo da se provodi veliki broj nezavisnih eksperimenata. P, u svakom od kojih je događaj A ima vrlo malu vjerovatnoću R. Zatim izračunati vjerovatnoću R t „ da događaj Aće se tačno pojaviti T vremena, možete koristiti približnu formulu

Gdje pr = a je parametar tog Poissonovog zakona, koji približno zamjenjuje binomnu distribuciju.

Iz ovog svojstva Poissonovog zakona - da se izrazi binomna distribucija s velikim brojem eksperimenata i malom vjerovatnoćom događaja - dolazi i njegov naziv, koji se često koristi u udžbenicima statistike: zakon retkih pojava.

Pogledajmo nekoliko primjera vezanih za Poissonovu distribuciju iz različitih područja prakse.

Primjer 1 Automatska telefonska centrala prima pozive srednje gustine TO poziva po satu. Uz pretpostavku da je broj poziva u bilo kojem vremenskom periodu raspoređen prema Poissonovom zakonu, pronađite vjerovatnoću da će tačno tri poziva stići na stanicu za dva minuta.

Rješenje. Prosječan broj poziva u dvije minute je:

Po formuli (5.9.1), vjerovatnoća primanja tačno tri poziva

Primjer 2. Pod uslovima iz prethodnog primera, naći verovatnoću da će barem jedan poziv doći za dve minute.

Rješenje. Prema formuli (5.9.4) imamo:

Primjer 3. Pod istim uslovima pronađite vjerovatnoću da će u dvije minute doći najmanje tri poziva.

Rješenje. Prema formuli (5.9.4) imamo:

Primjer 4 Na razboju se konac u prosjeku lomi 0,375 puta tokom jednog sata rada razboja. Pronađite vjerovatnoću da će tokom smjene (8 sati) broj prekida niti biti u granicama od 2 i 4 (najmanje 2 i najviše 4 prekida).

Rješenje. Očigledno,

imamo:

Prema tabeli 8 zahtjeva kada A = 3

Primjer 5. Od vruće katode u prosjeku leti po jedinici vremena q(t) elektrona, gde t- vrijeme proteklo od početka eksperimenta. Odrediti vjerovatnoću da tokom vremenskog intervala trajanja t, počevši od ovog trenutka t 0 , leteće pravo sa katode T elektrona.

Rješenje. Pronalazimo prosječan broj elektrona a emitiranih sa katode u datom vremenskom periodu. Imamo:

Prema izračunatom a određujemo željenu vjerovatnoću:

Primjer 6 Broj fragmenata koji pogađaju malu metu na datoj poziciji tačke loma distribuira se prema Poissonovom zakonu. Prosječna gustina polja fragmentacije, u kojoj se meta nalazi na datoj poziciji tačke loma, je 3 osc. / m 2. Područje mete je S= 0,5 m 2. Da biste pogodili metu, dovoljan je barem jedan fragment da ga pogodite. Odrediti vjerovatnoću pogađanja mete za datu poziciju tačke diskontinuiteta.

Rješenje, a=xs= 1.5. Koristeći formulu (5.9.4), nalazimo vjerovatnoću da ćemo pogoditi barem jedan fragment:

(Za izračunavanje vrijednosti eksponencijalne funkcije e~ a koristimo sto. 2 aplikacije.)

Primjer 7 Prosječna gustina patogenih mikroba u jednom kubnom metru zraka je 100. Za uzorak se uzima 2 dm 3 zraka. Nađite vjerovatnoću da će se u njemu naći barem jedan mikrob. Rješenje. Prihvatajući hipotezu Poissonove raspodjele broja mikroba u volumenu, nalazimo:

Primjer 8 Na neku metu se ispaljuje 50 nezavisnih hitaca. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,04. Koristeći granično svojstvo binomne distribucije (formula (5.9.17)), pronađite približno vjerovatnoću da nijedan projektil ne pogodi metu, jedan projektil, dva projektila.

Rješenje. Imamo a = pr = 50 0,04 = 2. Prema tabeli 8 u prilogu, nalazimo vjerovatnoće:

• Za metode eksperimentalnog određivanja ovih karakteristika, vidjeti kasnije, poglavlja 7 i 14.

Poissonova raspodjela - slučaj binomne distribucije kada je broj suđenja n dovoljno velika i vjerovatnoća str događaji A small().

Poissonova distribucija se također naziva distribucija rijetkih događaja. Na primjer, rođenje tri ili četiri blizanca u godini, isti zakon raspodjele primjenjuje se na broj radioaktivnih atoma koji se raspadaju u jedinici vremena, itd.

Vjerovatnoća pojave rijetkih događaja izračunava se po Poissonovoj formuli :

,

Gdje m broj pojavljivanja događaja A;

Srednja vrijednost Poissonove distribucije;

e\u003d 2,7183 - osnova prirodnog logaritma.

Poissonov zakon zavisi od jednog parametra - λ (lambda), čije značenje je sljedeće: to je i matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable distribuirane prema Poissonovom zakonu.

Uvjeti za pojavu Poissonove distribucije

Razmotrimo uslove pod kojima nastaje Poissonova distribucija.

prvo, Poissonova raspodjela je granica za binomsku distribuciju kada je broj eksperimenata n neograničeno raste (teži ka beskonačnosti) a istovremeno i vjerovatnoća str uspjeh u jednom eksperimentu opada neograničeno (teži nuli), ali na način da njihov proizvod np ostaje u granici konstantan i jednak λ (lambde):

U matematičkoj analizi je dokazano da je Poissonova raspodjela sa parametrom λ = np može se približno primijeniti umjesto binoma, kada je broj eksperimenata n vrlo visoka, a vjerovatnoća str je vrlo mali, odnosno u svakom pojedinačnom iskustvu, događaju A pojavljuje se izuzetno rijetko.

drugo, Poissonova distribucija se događa kada postoji tok događaja koji se naziva najjednostavniji (ili stacionarni Poissonov tok) . Tok događaja je slijed događaja kao što su dolazak poziva na komunikacijski čvor, dolazak posjetitelja u trgovinu, dolazak vozova na grbu i slično. Poissonov tok ima sljedeća svojstva:

• stacionarnost: vjerovatnoća pojave m događaji u određenom vremenskom periodu je konstantan i ne zavisi od porekla vremena, već zavisi samo od dužine vremenskog intervala;
• obično: vjerovatnoća da će dva ili više događaja pogoditi mali vremenski interval je zanemarljiva u poređenju sa vjerovatnoćom da će ga jedan događaj pogoditi;
• bez posljedica: vjerovatnoća pojave m događaja u određenom vremenskom periodu ne zavisi od toga koliko se događaja dogodilo u prethodnom periodu.

Karakteristike slučajne varijable distribuirane prema Poissonovom zakonu

Karakteristike slučajne varijable distribuirane prema Poissonovom zakonu:

očekivana vrijednost;

standardna devijacija ;

varijansa .

Poissonova distribucija i proračuni u MS Excel-u

Vjerovatnoća Poissonove distribucije P(m) i vrijednost integralne funkcije F(m) može se izračunati pomoću funkcije MS Excel POISSON.DIST. Prozor za odgovarajući proračun je prikazan ispod (kliknite levi taster miša za uvećanje).

MS Excel zahtijeva da unesete sljedeće podatke:

• x- broj događaja m;
• prosjek;
• integral - logička vrijednost: 0 - ako treba izračunati vjerovatnoću P(m) i 1 - ako je vjerovatnoća F(m).

Rješavanje primjera s Poissonovom distribucijom

Primjer 1 Direktor jedne telekomunikacione kompanije odlučio je da izračuna vjerovatnoću da će 0, 1, 2, ... poziva stići u mali grad u roku od pet minuta. Odabrani su nasumični intervali od pet minuta, broj poziva u svakom od njihovih intervala i izračunat je prosječan broj poziva: .

Izračunajte vjerovatnoću da će 6 poziva stići u roku od pet minuta.

Rješenje. Prema Poissonovoj formuli dobijamo:

Isti rezultat dobijamo koristeći MS Excel funkciju POISSON.DIST (vrijednost integralne vrijednosti je 0):

P(6 ) = POISSON.DIST(6, 4.8, 0) = 0.1398.

Izračunajmo vjerovatnoću da neće stići više od 6 poziva u roku od pet minuta (vrijednost integralne vrijednosti je 1):

P(≤6 ) = POISSON.DIST(6; 4,8; 1) = 0,7908.

Riješite primjer sami, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 2 Proizvođač je u određeni grad poslao 1000 testiranih, odnosno ispravnih televizora. Vjerovatnoća da će TV otkazati tokom transporta je 0,003. To jest, u ovom slučaju se primjenjuje Poissonov zakon distribucije. Naći vjerovatnoću da će od svih isporučenih televizora biti neispravni: 1) dva televizora; 2) manje od dva televizora.

Nastavljamo zajedno rješavati primjere

Primjer 3 Korisnički pozivni centar prima tok poziva sa intenzitetom od 0,8 poziva u minuti. Pronađite vjerovatnoću da za 2 minute: a) neće doći nijedan poziv; b) doći će tačno jedan poziv; c) doći će barem jedan poziv.

Razmotrite Poissonovu distribuciju, izračunajte njeno matematičko očekivanje, varijansu, mod. Koristeći MS EXCEL funkciju POISSON.DIST(), crtamo grafove funkcije distribucije i gustine vjerovatnoće. Procijenimo parametar distribucije, njegovo matematičko očekivanje i standardnu ​​devijaciju.

Prvo dajemo suvu formalnu definiciju distribucije, zatim dajemo primere situacija u kojima Poissonova distribucija(engleski) Poissondistribucija) je adekvatan model za opisivanje slučajne varijable.

Ako se slučajni događaji dogode u datom vremenskom periodu (ili u određenoj zapremini materije) sa prosječnom frekvencijom λ( lambda), zatim broj događaja x, dogodio u ovom vremenskom periodu će imati Poissonova distribucija.

Primjena Poissonove distribucije

Primjeri kada Poissonova distribucija je adekvatan model:

• broj poziva koje je telefonska centrala primila za određeni vremenski period;
• broj čestica koje su bile podvrgnute radioaktivnom raspadu u datom vremenskom periodu;
• broj nedostataka na komadu tkanine fiksne dužine.

Poissonova distribucija je adekvatan model ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

• događaji se dešavaju nezavisno jedan od drugog, tj. vjerovatnoća narednog događaja ne zavisi od prethodnog;
• prosječna učestalost događaja je konstantna. Kao posljedica toga, vjerovatnoća događaja je proporcionalna dužini intervala posmatranja;
• dva događaja se ne mogu dogoditi u isto vrijeme;
• broj događaja mora imati vrijednost 0; 1; 2…

Bilješka: Dobar trag koji posmatrana slučajna varijabla ima distribucija otrova, je činjenica da je približno jednako (vidi dolje).

Slijede primjeri situacija u kojima Poissonova distribucija ne mogu primijeniti:

• broj studenata koji napuste univerzitet u roku od sat vremena (jer prosječan protok studenata nije konstantan: ima malo studenata tokom nastave, a broj studenata naglo raste između časova);
• broj potresa sa amplitudom od 5 bodova godišnje u Kaliforniji (jer jedan potres može izazvati ponovljene potrese slične amplitude - događaji nisu nezavisni);
• broj dana koje pacijenti provode u jedinici intenzivne njege (jer je broj dana koje pacijenti provode u jedinici intenzivne njege uvijek veći od 0).

Bilješka: Poissonova distribucija je aproksimacija preciznijih diskretnih distribucija: i .

Bilješka: O vezi Poissonova distribucija I Binomna distribucija može se pročitati u članku. O vezi Poissonova distribucija I Eksponencijalna distribucija možete pronaći u članku o .

Poissonova distribucija u MS EXCEL-u

U MS EXCEL-u, počevši od verzije 2010, za Distribucije Poisson postoji funkcija POISSON.DIST() , engleski naziv je POISSON.DIST(), koja vam omogućava da izračunate ne samo vjerovatnoću da će se tokom određenog vremenskog perioda dogoditi X događaji (funkcija gustina vjerovatnoće p(x), vidi gornju formulu), ali takođe (vjerovatnoća da će barem u datom vremenskom periodu x događaji).

Prije MS EXCEL 2010, EXCEL je imao funkciju POISSON(), koja vam također omogućava da izračunate funkcija distribucije I gustina vjerovatnoće p(x). POISSON() je ostavljen u MS EXCEL 2010 radi kompatibilnosti.

Datoteka primjera sadrži grafikone gustina raspodjele vjerovatnoće I integralna funkcija distribucije.

Poissonova distribucija ima nakošen oblik (dugački rep na desnoj strani funkcije vjerovatnoće), ali kako se parametar λ povećava, postaje sve simetričniji.

Bilješka: Prosjek I disperzija(kvadrat) jednaki su parametru Poissonova distribucija– λ (vidi primjer lista datoteke Primjer).

Zadatak

Tipična primjena Poissonove distribucije u kontroli kvaliteta, predstavlja model broja nedostataka koji se mogu pojaviti u uređaju ili uređaju.

Na primjer, ako je prosječan broj defekata u čipu λ (lambda) 4, vjerovatnoća da će slučajno odabrani čip imati 2 ili manje defekata jednaka je: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0,2381

Treći parametar u funkciji je postavljen = TRUE, tako da će se funkcija vratiti integralna funkcija distribucije, odnosno vjerovatnoća da će broj slučajnih događaja biti u rasponu od 0 do 4 uključujući.

Izračuni se u ovom slučaju vrše prema formuli:

Vjerovatnoća da će slučajno odabrani čip imati tačno 2 defekta je: POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0,1465

Treći parametar u funkciji je postavljen = FALSE, tako da će funkcija vratiti gustoću vjerovatnoće.

Vjerovatnoća da će slučajno odabrani čip imati više od 2 defekta jednaka je: \u003d 1-POISSON.DIST (2, 4, TRUE) \u003d 0,8535

Bilješka: Ako x nije cijeli broj, onda kada se izračunava formula . Formule =POISSON.DIST( 2 ; 4; LAŽ) I =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; LAŽ)će vratiti isti rezultat.

Generisanje slučajnih brojeva i λ procjena

Za vrijednosti λ >15 , Poissonova distribucija dobro aproksimirano normalna distribucija sa sljedećim parametrima: μ =λ , σ 2 =λ .

Više o odnosu između ovih distribucija možete pročitati u članku. Navedeni su i primjeri aproksimacije, te su objašnjeni uslovi kada je to moguće i sa kojom tačnošću.

SAVJET: O ostalim distribucijama MS EXCEL-a možete pročitati u članku.

Kada se razmatraju događaji male vjerovatnoće koji se događaju u velikom nizu nezavisnih ispitivanja nekoliko (konačan) broj puta, vjerovatnoće pojave ovih događaja su u skladu sa Poissonovim zakonom ili zakonom rijetkih događaja, gdje je λ jednako prosječnom broju pojava. događaja u identičnim nezavisnim ispitivanjima, tj. λ = n × p, gdje je p vjerovatnoća događaja u jednom pokušaju, e = 2,71828 , m je učestalost ovog događaja, matematičko očekivanje M[X] je jednako λ.

Red distribucije Poissonovog zakona ima oblik:

Numeričke karakteristike slučajne varijable X

Matematičko očekivanje Poissonove distribucije
M[X] = λ

Varijanca Poissonove distribucije
D[X] = λ

Poissonov zakon može se koristiti za populacije koje su dovoljno velike veličine (n > 100) i imaju dovoljno mali udio jedinica koje imaju ovu osobinu (p< 0,1).
U ovom slučaju, Poissonova raspodjela se može primijeniti kada nije poznata samo vrijednost n, ukupan broj mogućih ishoda, već i kada nije poznat konačni broj koji n može predstavljati. Tamo gdje postoji prosječan broj pojavljivanja događaja, vjerovatnoća pojavljivanja događaja opisuje se ekspanzijskim terminima:
.
Dakle, odgovarajuće vjerovatnoće su:

Dakle, ako je prosječan broj potresa jedan mjesečno, tada će m=1 i vjerovatnoća događaja mjesečno biti sljedeća, izračunata iz približne vrijednosti e - m = 0,3679:

Primjer. Kao rezultat provjere 1000 serija identičnih proizvoda, dobijena je sljedeća distribucija broja neispravnih proizvoda u seriji:

Odredimo prosječan broj neispravnih proizvoda u seriji:
.
Pronalazimo teorijske frekvencije Poissonovog zakona:


Empirijski i pronađena teorijska Poissonova raspodjela:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

Poređenje svedoči o korespondenciji empirijske raspodele sa Poissonovom raspodelom.

Primjer #2. Služba tehničke kontrole provjerila je n serija iste vrste proizvoda i utvrdila da broj X nestandardnih proizvoda u jednoj seriji ima empirijsku raspodjelu datu u tabeli, u čijem jednom redu je broj x i nestandardnih proizvoda u jedna serija je naznačena, au drugom redu broj n i serija koje sadrže x i nestandardnih proizvoda. Potrebno je na nivou značajnosti α=0,05 testirati hipotezu da je slučajna varijabla X (broj nestandardnih proizvoda u jednoj seriji) distribuiran prema Poissonovom zakonu.

x i	0	1	2	3	4	5
n i	370	360	190	63	14	3

Testirajmo hipotezu da je X distribuiran Poissonov zakon koristeći uslugu statističkog testiranja hipoteza.


gdje je p i vjerovatnoća pada u i-ti interval slučajne varijable raspoređene prema hipotetičkom zakonu; λ = x up.
i = 0: p 0 = 0,3679, np 0 = 367,88
i = 1: p 1 = 0,3679, np 1 = 367,88
i = 2: p 2 = 0,1839, np 2 = 183,94
i = 3: p 3 = 0,0613, np 3 = 61,31
i = 4: p 4 = 0,0153, np 4 = 15,33
i = 5: p 5 = 0,0031, np 5 = 3,07
i = 6: 17=14 + 3
i = 6: 18,39=15,33 + 3,07

i	Uočena frekvencija n i	pi	Očekivana frekvencija np i
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

Definirajmo granicu kritične regije. Budući da Pearsonova statistika mjeri razliku između empirijske i teorijske distribucije, što je veća njena uočena vrijednost K obs, to je jači argument protiv glavne hipoteze.
Stoga je kritična regija za ovu statistiku uvijek desnoruka :)