การใช้กระบวนการสืบพันธุ์ที่บริสุทธิ์ กระบวนการของการสืบพันธุ์ที่บริสุทธิ์ กระบวนการผสมพันธุ์และความตาย
บทนำ
ในบทความนี้โครงการของโซ่มาร์คอฟแบบต่อเนื่องจะได้รับการพิจารณา - สิ่งที่เรียกว่า "แผนภาพการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์"
กระบวนการของการทำสำเนาและความตายเป็นกระบวนการสุ่มที่มีชุดของรัฐที่นับได้ (จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด) ที่ไหลในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง มันเป็นระบบบางอย่างในช่วงเวลาที่สุ่มของเวลาผ่านไปจากสถานะหนึ่งไปยังอีกรัฐหนึ่งและการเปลี่ยนผ่านระหว่างรัฐเกิดขึ้นพร้อมกับการกระโดดเมื่อเกิดเหตุการณ์บางอย่าง ตามกฎแล้วเหตุการณ์เหล่านี้มีสองประเภท: หนึ่งในนั้นมีเงื่อนไขที่เรียกว่าการเกิดของวัตถุบางอย่างและที่สองคือการตายของวัตถุนี้
หัวข้อนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างมากเนื่องจากความสำคัญสูงของกระบวนการทำมาร์คอฟในการศึกษากระบวนการทางเศรษฐกิจสิ่งแวดล้อมและชีวภาพนอกจากนี้กระบวนการ Markov ยังเป็นหัวใจของทฤษฎีบริการมวลชนซึ่งปัจจุบันใช้ในพื้นที่เศรษฐกิจที่หลากหลาย รวมถึงการจัดการกระบวนการในองค์กร
กระบวนการของมาร์คอฟแห่งความตายและการสืบพันธุ์มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการอธิบายกระบวนการต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในฟิสิกส์ชีวมณฑลระบบนิเวศ ฯลฯ ควรสังเกตว่ากระบวนการของ Markov ประเภทนี้ได้รับชื่ออย่างแม่นยำเนื่องจากการใช้งานอย่างกว้างขวางในชีววิทยาโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อสร้างแบบจำลองการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์ของบุคคลที่มีประชากรต่าง ๆ
บทความนี้จะได้รับมอบหมายวัตถุประสงค์ของการกำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย ตัวอย่างของการคำนวณจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบในโหมดเครื่องเขียนและการประมาณการนั้นเกิดขึ้นสำหรับกรณีต่าง ๆ ของกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย
กระบวนการผสมพันธุ์และความตาย
กระบวนการของการสืบพันธุ์และความตายเป็นกรณีพิเศษของกระบวนการสุ่มของ Markov ซึ่งอย่างไรก็ตามมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาระบบที่ไม่ต่อเนื่องด้วยลักษณะการทำงานแบบสุ่ม กระบวนการของการทำสำเนาและความตายเป็นกระบวนการสุ่ม Markov ที่เปลี่ยนจากรัฐ E ฉันอนุญาตเฉพาะในรัฐที่อยู่ติดกันของ E I - 1, E I และ E I + 1 กระบวนการของการผสมพันธุ์และความตายเป็นแบบอย่างที่เพียงพอสำหรับการอธิบายการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นในปริมาณของประชากรชีวภาพ ติดตามรุ่นนี้มีการกล่าวกันว่ากระบวนการอยู่ในสถานะของรัฐฉันถ้าปริมาณของประชากรเท่ากับสมาชิก ในกรณีนี้การเปลี่ยนแปลงจากรัฐ E ฉันไปยังสถานะ e i + 1 สอดคล้องกับการเกิดและการเปลี่ยนแปลงจาก e i ถึง e i-1 - ความตายสันนิษฐานว่าปริมาณของประชากรอาจแตกต่างกันไปไม่เกิน หนึ่ง; ซึ่งหมายความว่าการเกิดและ / หรือการตายหลายครั้งไม่อนุญาตให้มีการเพาะพันธุ์และการเสียชีวิต
กระบวนการสืบพันธุ์แบบไม่ต่อเนื่องและความตายนั้นน่าสนใจน้อยกว่าอย่างต่อเนื่องดังนั้นในอนาคตพวกเขาจะไม่ได้รับการพิจารณาในรายละเอียดและมุ่งเน้นไปที่กระบวนการต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามควรสังเกตว่าการคำนวณแบบขนานเกือบสำหรับกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่อง การเปลี่ยนแปลงของกระบวนการสืบพันธุ์และความตายจากรัฐ E ฉันกลับไปที่รัฐ E ฉันหมายถึงดอกเบี้ยทันทีสำหรับโซ่ที่ไม่ต่อเนื่อง ในกรณีที่ต่อเนื่องความเข้มที่กระบวนการส่งคืนไปยังสถานะปัจจุบันเท่ากับอินฟินิตี้และอินฟินิตี้นี้ได้รับการยกเว้นและถูกกำหนดดังนี้:
ในกรณีของกระบวนการทำสำเนาและเสียชีวิตด้วยเวลาที่ไม่ต่อเนื่องของความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านระหว่างรัฐ
ที่นี่ฉันเป็นโอกาสที่ในขั้นตอนต่อไป (ในแง่ของประชากรชีวภาพ) จะมีความตายหนึ่งที่ช่วยลดปริมาณของประชากรก่อนที่จะให้ปริมาณประชากรเท่ากับขั้นตอนนี้ ในทำนองเดียวกัน B ฉันเป็นโอกาสเกิดในขั้นตอนต่อไปที่นำไปสู่การเพิ่มปริมาณของประชากร มันเป็นโอกาสที่ไม่มีเหตุการณ์เหล่านี้จะเกิดขึ้นและในขั้นตอนต่อไปปริมาณของประชากรจะไม่เปลี่ยนแปลง อนุญาตให้มีความเป็นไปได้ทั้งสามนี้เท่านั้น เป็นที่ชัดเจนว่าเนื่องจากความตายไม่สามารถมาได้หากมีการตายบางชนิด
อย่างไรก็ตามในสัญชาตญาณถนอมได้รับอนุญาตซึ่งสอดคล้องกับความเป็นไปได้ของการเกิดเมื่อไม่มีสมาชิกคนเดียวในประชากร แม้ว่าสิ่งนี้จะถือได้ว่าเป็นการสร้างที่เกิดขึ้นเองหรือการสร้างศักดิ์สิทธิ์ แต่ในทฤษฎีของระบบที่ไม่ต่อเนื่องแบบจำลองนี้เป็นสมมติฐานที่มีความหมายอย่างสมบูรณ์ กล่าวคือรุ่นดังกล่าว: ประชากรคือการไหลเวียนของการเรียกร้องในระบบความตายหมายถึงการดูแลความต้องการของระบบและการเกิดสอดคล้องกับความต้องการใหม่ต่อระบบ เป็นที่ชัดเจนว่าในรูปแบบดังกล่าวมันค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะป้อนข้อกำหนดใหม่ (เกิด) ในระบบฟรี เมทริกซ์ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านกระบวนการทั่วไปของการเพาะพันธุ์และความตายมีรูปแบบต่อไปนี้:
หากโซ่มาร์คอฟเป็นขั้นสุดท้ายบรรทัดหลังของเมทริกซ์จะถูกเขียนในรูปแบบ; สิ่งนี้สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าไม่อนุญาตให้มีการทำสำเนาหลังจากประชากรถึงโวลุ่มสูงสุด n Matrix T มีสมาชิกเป็นศูนย์เพียงในแนวทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุมสองเส้นที่ใกล้เคียงที่สุด เนื่องจากเมทริกซ์ประเภทใดประเภทหนึ่งจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะคาดหวังว่าการวิเคราะห์กระบวนการของการผสมพันธุ์และความตายไม่ควรทำให้เกิดปัญหา ต่อไปเราจะพิจารณาเฉพาะกระบวนการที่ต่อเนื่องของการสืบพันธุ์และความตายซึ่งการเปลี่ยนจากสถานะ E ฉันเป็นไปได้เฉพาะในรัฐที่อยู่ใกล้เคียง E I-1 (ความตาย) และ e i + 1 (เกิด) แสดงโดยฉันความรุนแรงของการสืบพันธุ์ มันอธิบายความเร็วที่การสืบพันธุ์ในปริมาณของฉันมีประชากรเกิดขึ้น ในทำนองเดียวกันกับฉันเราแสดงถึงความรุนแรงของความตายความเร็วที่ระบุซึ่งความตายเกิดขึ้นในปริมาณของปริมาตร I โปรดทราบว่าความเข้มข้นของการเพาะพันธุ์ที่แนะนำและความตายไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลาและขึ้นอยู่กับสถานะของฉันดังนั้นเราจึงได้รับห่วงโซ่ที่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างต่อเนื่องของการผสมพันธุ์และการเสียชีวิตของมาร์คอฟ การกำหนดพิเศษเหล่านี้ได้รับการแนะนำเพราะพวกเขาโดยตรงนำไปสู่การประกาศใช้ในทฤษฎีของระบบที่ไม่ต่อเนื่อง ขึ้นอยู่กับการกำหนดที่ป้อนไว้ก่อนหน้านี้เรามี:
ฉัน \u003d q i, i + 1 และ i \u003d q i, i-1
ความต้องการในการเปลี่ยนผ่านที่ยอมรับได้เฉพาะในรัฐที่อยู่ติดกันที่ใกล้ที่สุดหมายความว่าขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่า
เราได้รับ Q II \u003d - (i + i) ดังนั้นเมทริกซ์ของความเข้มของการเปลี่ยนผ่านกระบวนการที่เป็นเนื้อเดียวกันของการผสมพันธุ์และความตายจะใช้รูปแบบ:
โปรดทราบว่าด้วยข้อยกเว้นของเส้นทแยงมุมหลักและใกล้เคียงและจากด้านบนองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นศูนย์ กราฟที่สอดคล้องกันของความเข้มของการเปลี่ยนแปลงจะถูกนำเสนอในรูปที่สอดคล้องกัน (2.1):
รูปที่ 2.1 - นับจำนวนความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย
ความมุ่งมั่นที่แม่นยำยิ่งขึ้นของกระบวนการที่ต่อเนื่องของการผสมพันธุ์และความตายมีดังนี้กระบวนการบางอย่างเป็นกระบวนการของการผสมพันธุ์และความตายหากเป็นห่วงโซ่มาร์คอฟที่เป็นเนื้อเดียวกันกับหลายรัฐ (E 0, E 1, E 2, ... ) หากการเกิดและความตายเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ (สิ่งนี้เป็นไปตามคุณสมบัติของมาร์คอฟโดยตรง) และหากเงื่อนไขต่อไปนี้มีความพึงพอใจ:
(การคลอด 1 ครั้งในช่วงเวลา (t, t + dt), ปริมาณประชากรเท่ากับ i);
(1 ความตายในช่วงเวลา (t, t + dt) | ปริมาณประชากรเท่ากับ i);
\u003d (0 เกิดในช่วงเวลา (t, t + dt) | ปริมาณของประชากรเท่ากับ i);
\u003d (0 การเสียชีวิตในช่วงเวลา (t, t + dt) | ปริมาณของประชากรเท่ากับ i)
ดังนั้นความแม่นยำในการเกิดความน่าจะเป็นของการเกิดของบุคคลใหม่ในประชากรของบุคคล N ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นของการตายของบุคคลในประชากรนี้ในช่วงเวลานั้น
ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงตอบสนองสมการตรงกันข้ามของ Kolmogorov ดังนั้นความน่าจะเป็นที่กระบวนการสืบพันธุ์และการเสียชีวิตอย่างต่อเนื่องในเวลา T อยู่ในสถานะ E ฉัน (ปริมาณประชากรเท่ากับ i) ถูกกำหนดในแบบฟอร์ม (2.1):
ในการแก้ปัญหาระบบของสมการเชิงอนุพันธ์ในกรณีที่ไม่น่าเชื่อถือเมื่อความน่าจะเป็น PI (T), I \u003d 0,1,2, ... ขึ้นอยู่กับเวลาที่จำเป็นต้องระบุการกระจายของความน่าจะเป็นเริ่มต้น PI (0), i \u003d 0,1,2, ... , ที่ t \u003d 0 นอกจากนี้เงื่อนไขการฟื้นฟูควรพอใจ
ตอนนี้เราพิจารณากระบวนการที่ง่ายที่สุดของการสืบพันธุ์ที่บริสุทธิ์ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นกระบวนการที่ฉัน \u003d 0 สำหรับทุก I นอกจากนี้สำหรับการทำให้ซับซ้อนยิ่งขึ้นของปัญหามากขึ้นสมมติว่าฉัน \u003d สำหรับทั้งหมดฉัน \u003d 0,1,2, .... การแทนที่ค่าเหล่านี้ในสมการ (2.1) เราได้รับ (2.2):
เพื่อความเรียบง่ายเรายังคิดว่ากระบวนการเริ่มต้นในช่วงเวลาเป็นศูนย์ที่ศูนย์สมาชิกนั่นคือ:
จากที่นี่สำหรับ p 0 (t) เราได้รับการแก้ไข:
การแทนที่โซลูชันนี้กับสมการ (2.2) ที่ I \u003d 1 เรามาถึงสมการ:
วิธีการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์นี้เห็นได้ชัดว่ามีรูปแบบ:
นี่คือการกระจายของปัวซองที่คุ้นเคย ดังนั้นกระบวนการของการสืบพันธุ์ที่บริสุทธิ์ด้วยความเข้มที่คงที่นำไปสู่ลำดับของการเกิดที่เกิดขึ้นในการไหลของปัวซอง
ความสนใจที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในแง่การปฏิบัติเป็นตัวแทนความน่าจะเป็นของรัฐของกระบวนการผสมพันธุ์และความตายในโหมดคงที่ สมมติว่ากระบวนการมีคุณสมบัติ Ergodic นั่นคือมีข้อ จำกัด
เราหันไปนิยามของความน่าจะเป็น จำกัด p i สมการสำหรับการกำหนดความน่าจะเป็นของระบอบการปกครองที่อยู่กับที่อยู่กับ (2.1) เนื่องจาก DP i (t) / dt \u003d 0 ด้วย:
ระบบที่เกิดขึ้นของสมการได้รับการแก้ไขเกี่ยวกับเงื่อนไขการทำให้ปกติ (2.4):
ระบบของสมการ (2.3) สำหรับโหมดที่กำหนดไว้ของกระบวนการทำสำเนาและความตายสามารถทำได้โดยตรงจากกราฟของความเข้มของการเปลี่ยนภาพในรูปที่ 2.1 การใช้หลักการของความเท่าเทียมกันของสตรีมความน่าจะเป็นไปตามสถานะของกระบวนการแยกต่างหาก ตัวอย่างเช่นหากคุณพิจารณาสถานะของ E i ในโหมดคงที่แล้ว:
ความเข้มของสตรีมน่าจะเป็นในและ
ความเข้มของความน่าจะเป็นไหลจาก
ในสภาวะสมดุลทั้งสองนี้จะต้องเท่ากันดังนั้นเราจึงได้รับโดยตรง:
แต่นี่เป็นความเสมอภาคแรกในระบบ (2.3) ในทำนองเดียวกันคุณสามารถรับความเท่าเทียมกันที่สองของระบบ เหตุผลเดียวกันกับการเก็บรักษาของการไหลซึ่งก่อนหน้านี้สามารถนำไปใช้กับกระแสของความน่าจะเป็นผ่านเส้นขอบปิดใด ๆ ตัวอย่างเช่นแทนที่จะเน้นแต่ละรัฐและสร้างสมการสำหรับมันคุณสามารถเลือกลำดับของรูปทรงแรกที่ครอบคลุมสถานะ E 0 ซึ่งเป็นครั้งที่สองคือสถานะ E 0 และ E 1 และอื่น ๆ รวมถึง สถานะต่อไปในแต่ละครั้งในขอบเขตใหม่ จากนั้นสำหรับ Contour I-th (สถานะ Surround E 0, E 1, ... , E I-1) การเก็บรักษาความน่าจะเป็นที่สามารถเขียนได้ในรูปแบบที่เรียบง่ายต่อไปนี้:
ความเท่าเทียมกัน (2.5) สามารถกำหนดเป็นกฎ: สำหรับระบบการสืบพันธุ์และการเสียชีวิตที่ง่ายที่สุดในโหมดผู้ป่วยในสตรีมความน่าจะเป็นไปได้ระหว่างสองสถานะที่อยู่ติดกันทุกแห่งมีค่าเท่ากัน
ระบบสมการที่เกิดขึ้นเทียบเท่ากับการลดลงก่อนหน้านี้ ในการรวบรวมระบบสุดท้ายของสมการมีความจำเป็นต้องดำเนินการตามแนวตั้งที่แยกสถานะใกล้เคียงและเทียบเท่าสตรีมผ่านขอบเขตที่เกิดขึ้น
การแก้ปัญหาของระบบ (2.5) สามารถพบได้โดยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์
ที่ฉัน \u003d 1 เรามี
ประเภทของความเท่าเทียมที่ได้รับแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาโดยรวมของระบบสมการ (2.5) มีรูปแบบ:
หรือระบุว่าตามคำนิยามการทำงานบนชุดที่ว่างเปล่าคือ:
ดังนั้นความน่าจะเป็นทั้งหมด P i สำหรับโหมดคงที่จะแสดงผ่านค่าคงที่ที่ไม่รู้จักเท่านั้น P 0 ความเท่าเทียมกัน (2.4) ให้เงื่อนไขเพิ่มเติมเพื่อตรวจสอบ P 0 จากนั้นสรุปฉันทั้งหมดสำหรับ P 0 เราได้รับ (2.7):
ให้เราหันไปสู่ปัญหาการดำรงอยู่ของความน่าจะเป็นที่อยู่กับฉัน เพื่อให้มีการระบุนิพจน์ที่มีการระบุความน่าจะเป็นความต้องการมักจะซ้อนทับเพื่อที่ P 0\u003e 0 เห็นได้ชัดว่านี่เป็นการ จำกัด การ จำกัด สัมประสิทธิ์การสืบพันธุ์และความตายในสมการที่เกี่ยวข้อง เป็นหลักจำเป็นต้องให้ระบบบางครั้งว่างเปล่า สภาพเสถียรภาพนี้ดูสมเหตุสมผลมากหากคุณหันไปใช้ตัวอย่างของชีวิตจริง หากมันเติบโตเร็วเกินไปเมื่อเทียบกับมันอาจกลายเป็นว่ามีความน่าจะเป็นในเชิงบวกที่จุดสิ้นสุดในเวลา t กระบวนการจะออกจากพื้นที่เฟส (0.1, ... ) ใน "จุดห่างไกลที่ไม่ จำกัด " (บุคคลในประชากรจะมากเกินไป) กล่าวอีกนัยหนึ่งกระบวนการจะไม่เป็นปกติแล้วความเท่าเทียมกัน (2.4) จะถูกทำลาย เรากำหนดสองจำนวนต่อไปนี้:
สำหรับความสม่ำเสมอของกระบวนการทำสำเนาและความตายมีความจำเป็นและเพียงพอที่จะ S 2 \u003d
สำหรับการดำรงอยู่ของการกระจายนิ่งของมันเป็นสิ่งที่จำเป็นและเพียงพอที่จะ s 1< .
เพื่อให้ทุกรัฐของกระบวนการดำเนินการและการเสียชีวิตเป็น Egodic และการบรรจบกันอย่างเพียงพอของซีรีส์ S 1< , при этом ряд должен расходиться S 2 = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям P i , i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются, например, когда, начиная с некоторого i, все члены последовательности {} ограничены единицей, т. е. тогда, когда существует некоторое i 0 (и некоторое С<1) такое, что для всех ii 0 выполняется неравенство:
ความไม่เท่าเทียมนี้สามารถได้รับการตีความง่ายๆ: เริ่มต้นจากบางรัฐ e ฉันและสำหรับทุกรัฐที่ตามมาความเข้มของกระแสของการสืบพันธุ์จะต้องน้อยกว่าความเข้มของการไหลของความตาย
บางครั้งในทางปฏิบัติมีกระบวนการของการสืบพันธุ์ "บริสุทธิ์" กระบวนการของการสืบพันธุ์ "บริสุทธิ์" เป็นกระบวนการของการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์ซึ่งความเข้มของกระแสความตายทั้งหมดเป็นศูนย์ กราฟของสถานะของกระบวนการดังกล่าวโดยไม่ จำกัด จำนวนสถานะจะแสดงในรูปที่ (2.2):
รูปที่ 2.2 - กราฟของความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการทำสำเนา "บริสุทธิ์"
ในทำนองเดียวกันแนวคิดของการเสียชีวิต "สะอาด" ถูกนำมาใช้ กระบวนการของการเสียชีวิต "สะอาด" เรียกว่ากระบวนการแห่งความตายและการสืบพันธุ์ดังกล่าวซึ่งความเข้มของกระแสการสืบพันธุ์ทั้งหมดเป็นศูนย์ กราฟของสถานะของกระบวนการดังกล่าวโดยไม่ จำกัด จำนวนสถานะจะแสดงในรูปที่:
รูปที่ 2.3 - นับความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการ "บริสุทธิ์" เสียชีวิต
ระบบสมการ Kolmogorov สำหรับกระบวนการดังกล่าวสามารถรับได้จากระบบสมการ (2.1) ซึ่งจำเป็นต้องใส่ความเข้มทั้งหมดของกระบวนการไหลของกระบวนการไหลเท่ากับศูนย์:
การวางนัยทั่วไปที่ง่ายที่สุดของกระบวนการปัวซองได้รับภายใต้ข้อสันนิษฐานว่าความน่าจะเป็นของการกระโดดอาจขึ้นอยู่กับสถานะปัจจุบันของระบบ สิ่งนี้นำไปสู่เราตามข้อกำหนดต่อไปนี้
postulates (i) การเปลี่ยนแปลงโดยตรงจากสถานะเป็นไปได้เฉพาะกับรัฐ (ii) หากในเวลาที่ระบบอยู่ในสถานะจากนั้น (ตามเงื่อนไข) โอกาสในการกระโดดครั้งเดียวในช่วงเวลาสั้น ๆ ที่ตามมาระหว่างนั้น จากนั้นเป็น (เงื่อนไข) ความน่าจะเป็นมากกว่าหนึ่งการกระโดดในช่วงเวลานี้คือ
คุณสมบัติที่โดดเด่นของสมมติฐานนี้คือเวลาที่ระบบใช้ไปในสถานะใด ๆ ที่ไม่มีบทบาทใด ๆ อย่างไรก็ตามการเปลี่ยนแปลงของรัฐอย่างฉับพลันเป็นไปได้อย่างไรก็ตามในขณะที่ระบบอยู่ในสถานะเดียวมันไม่ได้อายุ
ปล่อยให้มันเป็นไปได้ว่าในช่วงเวลาที่ระบบอยู่ในสถานะ ฟังก์ชั่นเหล่านี้เป็นไปตามระบบสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งสามารถได้มาโดยใช้เหตุผลของย่อหน้าก่อนหน้านี้ด้วยการเปลี่ยนแปลงเพียงอย่างเดียวที่ (5) ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ถูกแทนที่ด้วย
ดังนั้นเราจึงได้รับระบบหลักของสมการเชิงอนุพันธ์
(2)
ในกระบวนการปัวซองมันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะสมมติว่าในช่วงเวลา 0 ระบบจะออกมาจากสถานะเริ่มต้น ตอนนี้เราสามารถยอมรับกรณีทั่วไปได้มากขึ้นเมื่อระบบออกมาจากสถานะเริ่มต้นโดยพลการ จากนั้นเราก็ได้
เงื่อนไขเริ่มต้นเหล่านี้เดี่ยวกำหนดโซลูชันของระบบ (2) (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, ). สูตรที่ชัดเจนสำหรับการแสดงอย่างอิสระโดยผู้เขียนจำนวนมาก แต่สำหรับเราพวกเขาไม่ได้แสดงความสนใจ
ตัวอย่าง. การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี. อันเป็นผลมาจากการปล่อยอนุภาคหรือรัศมีซึ่งเป็นอะตอมกัมมันตภาพรังสีกล่าวว่ายูเรเนียมสามารถเปลี่ยนเป็นอะตอมของสายพันธุ์อื่นได้ แต่ละมุมมองเป็นสถานะที่เป็นไปได้และเมื่อกระบวนการดำเนินการเราจะได้รับลำดับการเปลี่ยน ตามทฤษฎีทางกายภาพที่นำมาใช้ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงยังคงไม่เปลี่ยนแปลงจนกว่าอะตอมจะอยู่ในสถานะและสมมติฐานนี้จะพบนิพจน์ในสมมติฐานเบื้องต้นของเรา ดังนั้นกระบวนการนี้จึงอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ (2) (นักฟิสิกส์ที่รู้จักกันดี) ถ้า - สถานะสุดท้ายที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงอื่น ๆ ที่เป็นไปไม่ได้ระบบ (2) จะเสียที่ (เมื่อเราได้รับโดยอัตโนมัติ)
กระทรวงศึกษาธิการของสาธารณรัฐเบลารุส
การจัดตั้งการศึกษา
"Gomel State University
ตั้งชื่อตาม Francis Skorina "
คณะวิชาคณิตศาสตร์
กรมเศรษฐกิจไซเบอร์เนติกส์และทฤษฎีความน่าจะเป็น
หลักสูตรหลักสูตร
ลักษณะนิ่งของกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย
ผู้ดำเนินการ:
Bukhovets วิคตอเรีย
Alexandrovna
ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์:
หัวหน้าแผนก,
Malinkovsky ยูริ
vladimirovich
Gomel 2011
บทนำ
กระบวนการผสมพันธุ์และความตาย
ตัวอย่างของกระบวนการผสมพันธุ์และความตายในกรณีของระบบการบำรุงรักษามวลง่าย ๆ
3 คำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบการบำรุงรักษามวล m / m / n
4 นิยามของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบการบำรุงรักษามวล m / m / n / n
นิยามของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับกระบวนการบางอย่างของการผสมพันธุ์และความตาย
2 กระบวนการของการผสมพันธุ์และความตายด้วยความเข้มข้นของการเกิดที่เพิ่มขึ้นอย่างเชิงเส้นและความเข้มของการเสียชีวิตที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง
4 การไหลเพิ่มเติมและจำนวนที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเครื่องมือ
5 ระบบที่มีข้อ จำกัด สำหรับเวลาที่อยู่ของแอปพลิเคชัน
6 ระบบที่มีข้อ จำกัด สำหรับเวลาของการใช้งานการใช้งานสตรีมเพิ่มเติมและจำนวนเครื่องมือที่ไม่มีที่สิ้นสุด
บทสรุป
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์การบำรุงรักษาจำนวนมาก
บทนำ
ในบทความนี้โครงการของโซ่มาร์คอฟแบบต่อเนื่องจะได้รับการพิจารณา - สิ่งที่เรียกว่า "แผนภาพการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์"
กระบวนการของการทำสำเนาและความตายเป็นกระบวนการสุ่มที่มีชุดของรัฐที่นับได้ (จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด) ที่ไหลในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง มันเป็นระบบบางอย่างในช่วงเวลาที่สุ่มของเวลาผ่านไปจากสถานะหนึ่งไปยังอีกรัฐหนึ่งและการเปลี่ยนผ่านระหว่างรัฐเกิดขึ้นพร้อมกับการกระโดดเมื่อเกิดเหตุการณ์บางอย่าง ตามกฎแล้วเหตุการณ์เหล่านี้มีสองประเภท: หนึ่งในนั้นมีเงื่อนไขที่เรียกว่าการเกิดของวัตถุบางอย่างและที่สองคือการตายของวัตถุนี้
หัวข้อนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างมากเนื่องจากความสำคัญสูงของกระบวนการทำมาร์คอฟในการศึกษากระบวนการทางเศรษฐกิจสิ่งแวดล้อมและชีวภาพนอกจากนี้กระบวนการ Markov ยังเป็นหัวใจของทฤษฎีบริการมวลชนซึ่งปัจจุบันใช้ในพื้นที่เศรษฐกิจที่หลากหลาย รวมถึงการจัดการกระบวนการในองค์กร
กระบวนการของมาร์คอฟแห่งความตายและการสืบพันธุ์มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการอธิบายกระบวนการต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในฟิสิกส์ชีวมณฑลระบบนิเวศ ฯลฯ ควรสังเกตว่ากระบวนการของ Markov ประเภทนี้ได้รับชื่ออย่างแม่นยำเนื่องจากการใช้งานอย่างกว้างขวางในชีววิทยาโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อสร้างแบบจำลองการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์ของบุคคลที่มีประชากรต่าง ๆ
บทความนี้จะได้รับมอบหมายวัตถุประสงค์ของการกำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย ตัวอย่างของการคำนวณจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบในโหมดเครื่องเขียนและการประมาณการนั้นเกิดขึ้นสำหรับกรณีต่าง ๆ ของกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย
1. กระบวนการของการผสมพันธุ์และความตาย
กระบวนการของการสืบพันธุ์และความตายเป็นกรณีพิเศษของกระบวนการสุ่มของ Markov ซึ่งอย่างไรก็ตามมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาระบบที่ไม่ต่อเนื่องด้วยลักษณะการทำงานแบบสุ่ม กระบวนการทำสำเนาและความตายเป็นกระบวนการสุ่ม Markov ที่เปลี่ยนจากรัฐ E ผม. อนุญาตเฉพาะในรัฐที่อยู่ใกล้เคียง e i-1 E. ผม. และอี ฉัน + 1 . กระบวนการของการผสมพันธุ์และความตายเป็นแบบอย่างที่เพียงพอสำหรับการอธิบายการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นในปริมาณของประชากรชีวภาพ ติดตามรุ่นนี้พวกเขาบอกว่ากระบวนการอยู่ในสถานะ e ผม. หากปริมาณของประชากรมีค่าเท่ากับสมาชิก ในกรณีนี้การเปลี่ยนแปลงจากรัฐ e ผม. ถึงรัฐอี ฉัน + 1 สอดคล้องกับการเกิดและการเปลี่ยนจาก E ผม. ใน E. i-1 - ความตายสันนิษฐานว่าปริมาณของประชากรอาจแตกต่างกันไปไม่เกินหนึ่ง; ซึ่งหมายความว่าการเกิดและ / หรือการตายหลายครั้งไม่อนุญาตให้มีการเพาะพันธุ์และการเสียชีวิต
กระบวนการสืบพันธุ์แบบไม่ต่อเนื่องและความตายนั้นน่าสนใจน้อยกว่าอย่างต่อเนื่องดังนั้นในอนาคตพวกเขาจะไม่ได้รับการพิจารณาในรายละเอียดและมุ่งเน้นไปที่กระบวนการต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามควรสังเกตว่าการคำนวณแบบขนานเกือบสำหรับกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่อง กระบวนการเปลี่ยนผ่านของการผสมพันธุ์และความตายจากรัฐ e ผม. กลับไปที่สถานะ e ผม. แสดงถึงดอกเบี้ยโดยตรงสำหรับโซ่ที่ไม่ต่อเนื่อง Markov; ในกรณีที่ต่อเนื่องความเข้มที่กระบวนการส่งคืนไปยังสถานะปัจจุบันเท่ากับอินฟินิตี้และอินฟินิตี้นี้ได้รับการยกเว้นและถูกกำหนดดังนี้:
ในกรณีของกระบวนการทำสำเนาและเสียชีวิตด้วยเวลาที่ไม่ต่อเนื่องของความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านระหว่างรัฐ
ที่นี่ DI เป็นโอกาสที่ในขั้นตอนต่อไป (ในแง่ของประชากรชีวภาพ) จะมีความตายหนึ่งที่ช่วยลดปริมาณของประชากรก่อนที่จะให้ปริมาณประชากรเท่ากับขั้นตอนนี้ ในทำนองเดียวกัน BI คือความน่าจะเป็นของการเกิดในขั้นตอนต่อไปนำไปสู่การเพิ่มขึ้นของปริมาณของประชากร มันเป็นโอกาสที่ไม่มีเหตุการณ์เหล่านี้จะเกิดขึ้นและในขั้นตอนต่อไปปริมาณของประชากรจะไม่เปลี่ยนแปลง อนุญาตให้มีความเป็นไปได้ทั้งสามนี้เท่านั้น เป็นที่ชัดเจนว่าเนื่องจากความตายไม่สามารถมาได้หากมีการตายบางชนิด
อย่างไรก็ตามในสัญชาตญาณถนอมได้รับอนุญาตซึ่งสอดคล้องกับความเป็นไปได้ของการเกิดเมื่อไม่มีสมาชิกคนเดียวในประชากร แม้ว่าสิ่งนี้จะถือได้ว่าเป็นการสร้างที่เกิดขึ้นเองหรือการสร้างศักดิ์สิทธิ์ แต่ในทฤษฎีของระบบที่ไม่ต่อเนื่องแบบจำลองนี้เป็นสมมติฐานที่มีความหมายอย่างสมบูรณ์ กล่าวคือรุ่นดังกล่าว: ประชากรคือการไหลเวียนของการเรียกร้องในระบบความตายหมายถึงการดูแลความต้องการของระบบและการเกิดสอดคล้องกับความต้องการใหม่ต่อระบบ เป็นที่ชัดเจนว่าในรูปแบบดังกล่าวมันค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะป้อนข้อกำหนดใหม่ (เกิด) ในระบบฟรี เมทริกซ์ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านกระบวนการทั่วไปของการเพาะพันธุ์และความตายมีรูปแบบต่อไปนี้:
หากโซ่มาร์คอฟเป็นขั้นสุดท้ายบรรทัดหลังของเมทริกซ์จะถูกเขียนในรูปแบบ; สิ่งนี้สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าไม่อนุญาตให้มีการทำสำเนาหลังจากประชากรถึงโวลุ่มสูงสุด n Matrix T มีสมาชิกเป็นศูนย์เพียงในแนวทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุมสองเส้นที่ใกล้เคียงที่สุด เนื่องจากเมทริกซ์ประเภทใดประเภทหนึ่งจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะคาดหวังว่าการวิเคราะห์กระบวนการของการผสมพันธุ์และความตายไม่ควรทำให้เกิดปัญหา ต่อไปเราจะพิจารณาเฉพาะกระบวนการที่ต่อเนื่องของการสืบพันธุ์และความตายซึ่งการเปลี่ยนจากรัฐ EI เป็นไปได้เฉพาะในรัฐเพื่อนบ้านของ EI-1 (ความตาย) และ EI + 1 (เกิด) แสดงโดย Li ความเข้มข้นของการสืบพันธุ์ มันอธิบายความเร็วที่การสืบพันธุ์ในปริมาณของฉันมีประชากรเกิดขึ้น ในทำนองเดียวกันผ่าน MI เราแสดงถึงความรุนแรงของการตายความเร็วที่ระบุซึ่งความตายเกิดขึ้นในปริมาณของปริมาณ I โปรดทราบว่าความเข้มข้นของการผสมพันธุ์ที่แนะนำและความตายไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลาและขึ้นอยู่กับ EI ของรัฐดังนั้นเราจึงได้รับห่วงโซ่ที่เป็นเนื้อเดียวกันของการผสมพันธุ์และการตายของมาร์คอฟอย่างต่อเนื่อง การกำหนดพิเศษเหล่านี้ได้รับการแนะนำเพราะพวกเขาโดยตรงนำไปสู่การประกาศใช้ในทฤษฎีของระบบที่ไม่ต่อเนื่อง ขึ้นอยู่กับการกำหนดที่ป้อนไว้ก่อนหน้านี้เรามี:
li \u003d qi, i + 1 และ mi \u003d qi, i-1
ความต้องการในการเปลี่ยนผ่านที่ยอมรับได้เฉพาะในรัฐที่อยู่ติดกันที่ใกล้ที่สุดหมายความว่าขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่า
เราได้รับ qii \u003d - (mi + li) ดังนั้นเมทริกซ์ของความเข้มของการเปลี่ยนผ่านกระบวนการที่เป็นเนื้อเดียวกันของการผสมพันธุ์และความตายจะใช้รูปแบบ:
โปรดทราบว่าด้วยข้อยกเว้นของเส้นทแยงมุมหลักและใกล้เคียงและจากด้านบนองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นศูนย์ กราฟที่สอดคล้องกันของความเข้มของการเปลี่ยนแปลงจะถูกนำเสนอในรูปที่สอดคล้องกัน (2.1):
รูปที่ 2.1 - นับจำนวนความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย
ความมุ่งมั่นที่แม่นยำยิ่งขึ้นของกระบวนการที่ต่อเนื่องของการผสมพันธุ์และความตายมีดังนี้กระบวนการบางอย่างเป็นกระบวนการของการผสมพันธุ์และความตายหากเป็นห่วงโซ่มาร์คอฟที่เป็นเนื้อเดียวกันกับหลายรัฐ (E0, E1, E2, ... ) ถ้า การเกิดและความตายเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ (ตามมาจากคุณสมบัติ Markov โดยตรง) และหากเงื่อนไขต่อไปนี้พอใจ:
1) (การเกิด 1 ครั้งในช่วงเวลา (t, t + t), ปริมาณประชากรเท่ากับ i);
2) (1 ความตายในช่วงเวลา (t, t + t) | ปริมาณของประชากรเท่ากับ i);
3) \u003d (0 เกิดบ่อยครั้งในช่วงเวลา (t, t + t) | ปริมาณของประชากรเท่ากับ i);
4) \u003d (ตรง 0 ตายในช่วงเวลา (t, t + t) | ปริมาณของประชากรเท่ากับ i)
ดังนั้นความแม่นยำในการเกิดความน่าจะเป็นของการเกิดของบุคคลใหม่ในประชากรของบุคคล N ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นของการตายของบุคคลในประชากรนี้ในช่วงเวลานั้น
ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงตอบสนองสมการตรงกันข้ามของ Kolmogorov ดังนั้นความเป็นไปได้ที่กระบวนการสืบพันธุ์และการเสียชีวิตอย่างต่อเนื่องในเวลา T อยู่ในสถานะ EI ของรัฐ (ปริมาณประชากรเท่ากับ i) ถูกกำหนดในแบบฟอร์ม (2.1):
ในการแก้ปัญหาระบบที่เกิดขึ้นของสมการเชิงอนุพันธ์ในกรณีที่ไม่ใช่อนามัยเมื่อความน่าจะเป็น PI (t), I \u003d 0,1,2, ... ขึ้นอยู่กับเวลาที่จำเป็นในการตั้งค่าการกระจายของความน่าจะเป็นเริ่มต้น PI (0), i \u003d 0,1,2, ... , ที่ t \u003d 0 นอกจากนี้เงื่อนไขการฟื้นฟูควรพอใจ
พิจารณาตอนนี้กระบวนการที่ง่ายที่สุดของการสืบพันธุ์ที่บริสุทธิ์ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นกระบวนการที่ mi \u003d 0 สำหรับทั้งหมด I. นอกจากนี้สำหรับการทำให้ซับซ้อนยิ่งขึ้นของปัญหามากขึ้นสมมติว่า Li \u003d l สำหรับ i \u003d 0,1,2, .... การแทนที่ค่าเหล่านี้ในสมการ (2.1) เราได้รับ (2.2):
เพื่อความเรียบง่ายเรายังคิดว่ากระบวนการเริ่มต้นในช่วงเวลาเป็นศูนย์ที่ศูนย์สมาชิกนั่นคือ:
ดังนั้นสำหรับ P0 (t) เราได้รับการแก้ไข:
การแทนที่โซลูชันนี้กับสมการ (2.2) ที่ I \u003d 1 เรามาถึงสมการ:
วิธีการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์นี้เห็นได้ชัดว่ามีรูปแบบ:
นี่คือการกระจายของปัวซองที่คุ้นเคย ดังนั้นกระบวนการของการสืบพันธุ์ที่บริสุทธิ์ด้วยความเข้มที่คงที่ L นำไปสู่ลำดับของการเกิดที่เกิดขึ้นในการไหลของปัวซอง
ความสนใจที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในแง่การปฏิบัติเป็นตัวแทนความน่าจะเป็นของรัฐของกระบวนการผสมพันธุ์และความตายในโหมดคงที่ สมมติว่ากระบวนการมีคุณสมบัติ Ergodic นั่นคือมีข้อ จำกัด
ให้เราหันไปนิยามความน่าจะเป็นของการ จำกัด ของ PI สมการสำหรับการกำหนดความน่าจะเป็นของโหมดเครื่องเขียนสามารถรับได้โดยตรงจาก (2.1) เนื่องจาก DPI (t) / dt \u003d 0 ด้วย:
ระบบที่เกิดขึ้นของสมการได้รับการแก้ไขเกี่ยวกับเงื่อนไขการทำให้ปกติ (2.4):
ระบบของสมการ (2.3) สำหรับโหมดที่กำหนดไว้ของกระบวนการทำสำเนาและความตายสามารถทำได้โดยตรงจากกราฟของความเข้มของการเปลี่ยนภาพในรูปที่ 2.1 การใช้หลักการของความเท่าเทียมกันของสตรีมความน่าจะเป็นไปตามสถานะของกระบวนการแยกต่างหาก ตัวอย่างเช่นหากคุณพิจารณาสถานะ EI ในโหมดคงที่แล้ว:
ความเข้มของสตรีมน่าจะเป็นในและ
ความเข้มของความน่าจะเป็นไหลจาก
ในสภาวะสมดุลทั้งสองนี้จะต้องเท่ากันดังนั้นเราจึงได้รับโดยตรง:
แต่นี่เป็นความเสมอภาคแรกในระบบ (2.3) ในทำนองเดียวกันคุณสามารถรับความเท่าเทียมกันที่สองของระบบ เหตุผลเดียวกันกับการเก็บรักษาของการไหลซึ่งก่อนหน้านี้สามารถนำไปใช้กับกระแสของความน่าจะเป็นผ่านเส้นขอบปิดใด ๆ ตัวอย่างเช่นแทนที่จะแยกแยะแต่ละรัฐและสร้างสมการสำหรับมันคุณสามารถเลือกลำดับของรูปทรงแรกที่ครอบคลุมสถานะ E0 สถานะที่สอง E0 และ E1 และอื่น ๆ รวมถึงทุกครั้งที่สถานะถัดไปคือ สถานะอื่น จากนั้นสำหรับ Contour ที่ I-TH (สถานะ Surround E0, E1, ... , EI-1) สตรีมความน่าจะเป็นที่สามารถเขียนได้ในรูปแบบง่าย ๆ ต่อไปนี้:
ความเท่าเทียมกัน (2.5) สามารถกำหนดเป็นกฎ: สำหรับระบบการสืบพันธุ์และการเสียชีวิตที่ง่ายที่สุดในโหมดผู้ป่วยในสตรีมความน่าจะเป็นไปได้ระหว่างสองสถานะที่อยู่ติดกันทุกแห่งมีค่าเท่ากัน
ระบบสมการที่เกิดขึ้นเทียบเท่ากับการลดลงก่อนหน้านี้ ในการรวบรวมระบบสุดท้ายของสมการมีความจำเป็นต้องดำเนินการตามแนวตั้งที่แยกสถานะใกล้เคียงและเทียบเท่าสตรีมผ่านขอบเขตที่เกิดขึ้น
การแก้ปัญหาของระบบ (2.5) สามารถพบได้โดยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์
ที่ฉัน \u003d 1 เรามี
ประเภทของความเท่าเทียมที่ได้รับแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาโดยรวมของระบบสมการ (2.5) มีรูปแบบ:
หรือระบุว่าตามคำนิยามการทำงานบนชุดที่ว่างเปล่าคือ:
ดังนั้นความน่าจะเป็นของ PI ทั้งหมดสำหรับโหมดคงที่จะแสดงผ่าน P0 คงที่ที่ไม่รู้จักเท่านั้น ความเสมอภาค (2.4) ให้เงื่อนไขเพิ่มเติมที่ช่วยให้คุณสามารถกำหนด P0 จากนั้นโดยสรุปทั้งหมดฉันสำหรับ P0 เราได้รับ (2.7):
ให้เราหันไปสู่ปัญหาการดำรงอยู่ของความน่าจะเป็นของ PI เพื่อให้นิพจน์ที่ได้รับเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นความต้องการมักจะซ้อนทับไปยัง P0\u003e 0 เห็นได้ชัดว่านี่เป็นการ จำกัด การ จำกัด สัมประสิทธิ์การสืบพันธุ์และความตายในสมการที่เกี่ยวข้อง เป็นหลักจำเป็นต้องให้ระบบบางครั้งว่างเปล่า สภาพเสถียรภาพนี้ดูสมเหตุสมผลมากหากคุณหันไปใช้ตัวอย่างของชีวิตจริง หากมันเติบโตเร็วเกินไปเมื่อเทียบกับมันอาจกลายเป็นว่ามีความน่าจะเป็นในเชิงบวกที่จุดสิ้นสุดในเวลา t กระบวนการจะออกจากพื้นที่เฟส (0.1, ... ) ใน "จุดห่างไกลที่ไม่ จำกัด " (บุคคลในประชากรจะมากเกินไป) กล่าวอีกนัยหนึ่งกระบวนการจะไม่เป็นปกติแล้วความเท่าเทียมกัน (2.4) จะถูกทำลาย เรากำหนดสองจำนวนต่อไปนี้:
สำหรับความสม่ำเสมอของกระบวนการทำสำเนาและความตายมีความจำเป็นและเพียงพอที่จะ s2 \u003d
สำหรับการดำรงอยู่ของการกระจายนิ่งของมันเป็นสิ่งจำเป็นและเพียงพอที่จะเป็น S1< .
เพื่อให้ทุกรัฐของ EI ของกระบวนการทำสำเนาและความตายภายใต้การพิจารณามีความจำเป็นและเพียงพอสำหรับการบรรจบกันของซีรี่ส์ S1< , при этом ряд должен расходиться S2 = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям Pi, i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются, например, когда, начиная с некоторого i, все члены последовательности {} ограничены единицей, т. е. тогда, когда существует некоторое i0 (и некоторое С<1) такое, что для всех ii0 выполняется неравенство:
ความไม่เท่าเทียมนี้สามารถได้รับการตีความง่ายๆ: เริ่มต้นจากบางรัฐ EI และสำหรับทุกรัฐที่ตามมาความเข้มของกระแสการสืบพันธุ์จะต้องน้อยกว่าความเข้มของการไหลของความตาย
บางครั้งในทางปฏิบัติมีกระบวนการของการสืบพันธุ์ "บริสุทธิ์" กระบวนการของการสืบพันธุ์ "บริสุทธิ์" เป็นกระบวนการของการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์ซึ่งความเข้มของกระแสความตายทั้งหมดเป็นศูนย์ กราฟของสถานะของกระบวนการดังกล่าวโดยไม่ จำกัด จำนวนสถานะจะแสดงในรูปที่ (2.2):
รูปที่ 2.2 - กราฟของความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการทำสำเนา "บริสุทธิ์"
ในทำนองเดียวกันแนวคิดของการเสียชีวิต "สะอาด" ถูกนำมาใช้ กระบวนการของการเสียชีวิต "สะอาด" เรียกว่ากระบวนการแห่งความตายและการสืบพันธุ์ดังกล่าวซึ่งความเข้มของกระแสการสืบพันธุ์ทั้งหมดเป็นศูนย์ กราฟของสถานะของกระบวนการดังกล่าวโดยไม่ จำกัด จำนวนสถานะจะแสดงในรูปที่:
รูปที่ 2.3 - นับความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการ "บริสุทธิ์" เสียชีวิต
ระบบสมการ Kolmogorov สำหรับกระบวนการดังกล่าวสามารถรับได้จากระบบสมการ (2.1) ซึ่งจำเป็นต้องใส่ความเข้มทั้งหมดของกระบวนการไหลของกระบวนการไหลเท่ากับศูนย์:
2. ตัวอย่างความเสียหายต่อความตายในกรณีของระบบการบำรุงรักษามวลง่าย ๆ
1 นิยามของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบการบำรุงรักษามวล m / m / 1
ระบบการบำรุงรักษาจำนวนมากภายใต้การพิจารณาคือกระบวนการของการสืบพันธุ์และการเสียชีวิตด้วยกราฟการเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้ (รูปที่ 3.1):
รูปที่ 3.1 - นับความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับระบบ M / M / 1
จากสภาพของ ergodicity สำหรับกระบวนการของการเสียชีวิตและการทำสำเนามันเป็นไปตามที่หากมีการกระจายเครื่องหยุดนิ่งแบบเดียวที่เกิดขึ้นพร้อมกับ ergodic เรียกว่าอัตราส่วนโหลดเครือข่าย สมการดุลยภาพมีรูปแบบที่เราพบว่า:
ความน่าจะเป็นที่สามารถพบได้โดยใช้เงื่อนไขการทำให้เป็นปกติ (2.4) จากที่ซึ่งมันเป็นไปตามนั้น
i.e. จำนวนแอปพลิเคชันในระบบการบำรุงรักษาขนาดใหญ่ในโหมดเครื่องเขียนมีการกระจายแบบเรขาคณิต
ง่ายต่อการค้นหาฟังก์ชั่นการผลิตของการกระจายนี้:
จากที่นี่เราได้รับนิพจน์สำหรับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบในโหมดเครื่องเขียน:
เห็นได้ชัดว่าคิวในระบบบริการมวลกำลังเติบโตไม่ จำกัด
2 นิยามของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบการบำรุงรักษามวล m / m / n / 0
นี่คือระบบการสูญเสียโดยไม่ต้องรอ หากแอปพลิเคชันเข้าสู่ระบบในเวลาที่บริการถูกครอบครองโดยบรรทัด N ทั้งหมดจะหายไป ระบบดังกล่าวได้รับการแนะนำโดยวิศวกรชาวเดนมาร์ก Erlang ในช่วงต้นศตวรรษที่ผ่านมาและถูกนำไปใช้เป็นแบบจำลองการดำเนินการโทรเข้าสู่การแลกเปลี่ยนโทรศัพท์ กราฟของการเปลี่ยนภาพสำหรับระบบการบำรุงรักษามวลดังกล่าวมีแบบฟอร์ม (รูปที่ 3.2):
รูปที่ 3.2 - นับความเข้มของความเข้มสำหรับระบบ M / M / N / 0
ตั้งแต่จำนวนสถานะของระบบแน่นอนและห่วงโซ่มาร์คอฟจะลดลงไม่ได้การกระจายนิ่งเพียงอย่างเดียวที่เกิดขึ้นพร้อมกับ ergodic มีอยู่เสมอกับพารามิเตอร์ใด ๆ
จากที่นี่เราได้รับ:
ความน่าจะเป็นเช่นเคยสามารถพบได้จากสภาวะปกติ (2.4), ที่ตั้ง:
ดังนั้นเราจะได้รับ:
จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบจะถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์:
ด้วยขนาดใหญ่ N คุณสามารถใช้ asymptotics
2.3 คำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบการบำรุงรักษามวล m / m / n
นี่คือระบบมัลติเคเบิลที่มีความคาดหวัง หากทุกบรรทัด N ถูกครอบครองโดยการให้บริการแอปพลิเคชันความเข้มของบริการเท่ากับ กราฟการเปลี่ยนแปลงสำหรับระบบนี้มีมุมมอง (รูปที่ 3.3):
รูปที่ 3.3 - นับความเข้มของการเปลี่ยนภาพสำหรับระบบ M / M / N
การกระจายนิ่งอยู่ในนั้นหาก
สมการดุลยภาพมีดังนี้:
ที่คล้ายกับกรณีก่อนหน้ารับ
เงื่อนไขของการฟื้นฟูในกรณีนี้จะใช้แบบฟอร์ม:
จากที่นั้นตามที่
จำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยในโหมดผู้ป่วยในเท่ากัน
2.4 นิยามของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบการบำรุงรักษามวล m / m / n / n
นี่คือระบบหลายด้านที่มีจำนวนที่ จำกัด มันแตกต่างจากระบบการบำรุงรักษามวลก่อนหน้านี้โดยความจริงที่ว่ามีเพียงสถานที่ที่อยู่ในนั้น ดังนั้นกราฟของการเปลี่ยนภาพในกรณีนี้มีแบบฟอร์ม (รูปที่ 3.4):
รูปที่ 3.4 - นับความเข้มของการเปลี่ยนภาพสำหรับระบบ M / M / N / N
ตั้งแต่จำนวนสถานะของระบบแน่นอนการกระจายนิ่งเพียงอยู่ที่มีพารามิเตอร์ใด ๆ เสมอ สมการสมดุลใช้รูปแบบ:
ที่ซึ่งมันติดตามความน่าจะเป็นผู้ป่วยในมีรูปแบบเดียวกับระบบบริการมวลก่อนหน้านี้ด้วยความแตกต่างเพียงอย่างเดียวที่พวกเขากำหนดไว้ ทางนี้
ความน่าจะเป็นถูกกำหนดจากเงื่อนไขของการทำให้เป็นมาตรฐาน (2.4):
คุณได้รับ:
จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบจะถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์:
3. นิยามของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับบางกระบวนการของการผสมพันธุ์และความตาย
1 กระบวนการผสมพันธุ์และความตายด้วยความเข้มข้นของการเกิดและความตายที่เพิ่มขึ้นอย่างเชิงเส้น
รูปที่ 1 - กราฟของความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกรณีแรกของกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย
เราเขียนสมการสมดุลสำหรับความน่าจะเป็นของรัฐ:
ในการกำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เราใช้สูตรต่อไปนี้:
ที่กำหนดโดยสูตร
ดังนั้นจำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยในระบบในโหมดคงที่คือ:
3.2 กระบวนการของการผสมพันธุ์และการเสียชีวิตด้วยความเข้มข้นของการเกิดที่เพิ่มขึ้นอย่างเชิงเส้นและความเข้มของความตายที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง
ปล่อยให้ความเร็ว Li ซึ่งมีการสืบพันธุ์ในปริมาณที่ 1 ประชากรและความเข้มของการเสียชีวิตของ MI ความเร็วที่ระบุที่การเสียชีวิตเกิดขึ้นในปริมาณที่ 1 ประชากรจะถูกกำหนดโดยกฎต่อไปนี้:
กราฟของความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการผสมพันธุ์และความตายนี้มีรูปแบบ:
รูปที่ 2 - กราฟของความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกรณีที่สองของกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย
เราเขียนสมการสมดุลสำหรับความน่าจะเป็นของรัฐ:
3 กระบวนการของการผสมพันธุ์และความตายด้วยความเข้มข้นของการเกิดที่เพิ่มขึ้นอย่างเชิงเส้นและความเข้มของความตายที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง
ปล่อยให้ความเร็ว Li ซึ่งมีการสืบพันธุ์ในปริมาณที่ 1 ประชากรและความเข้มของการเสียชีวิตของ MI ความเร็วที่ระบุที่การเสียชีวิตเกิดขึ้นในปริมาณที่ 1 ประชากรจะถูกกำหนดโดยกฎต่อไปนี้:
กราฟของความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการผสมพันธุ์และความตายนี้มีรูปแบบ
รูปที่ 3 - การนับความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกรณีที่สามของกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย
เราเขียนสมการสมดุลสำหรับความน่าจะเป็นของรัฐ:
เพื่อค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เราใช้สูตร เราได้รับจำนวนแอปพลิเคชั่นโดยเฉลี่ยในโหมดเครื่องเขียนคือ:
3.4 สตรีมเพิ่มเติมและจำนวนเครื่องมือที่ไม่มีที่สิ้นสุด
ปล่อยให้ความเร็ว Li ซึ่งมีการสืบพันธุ์ในปริมาณที่ 1 ประชากรและความเข้มของการเสียชีวิตของ MI ความเร็วที่ระบุที่การเสียชีวิตเกิดขึ้นในปริมาณที่ 1 ประชากรจะถูกกำหนดโดยกฎต่อไปนี้:
กราฟของความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการผสมพันธุ์และความตายนี้มีรูปแบบ:
รูปที่ 4 - กราฟของความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกรณีที่สี่ของกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย
เราเขียนสมการสมดุลสำหรับความน่าจะเป็นของรัฐ:
เพื่อค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เราใช้สูตร เราได้รับจำนวนแอปพลิเคชั่นโดยเฉลี่ยในโหมดเครื่องเขียนคือ:
ทำการประมาณการจากด้านบน:
ทางนี้:
3.5 ระบบที่มีข้อ จำกัด สำหรับเวลาที่อยู่ในการใช้งานแอปพลิเคชัน
ปล่อยให้ความเร็ว Li ซึ่งมีการสืบพันธุ์ในปริมาณที่ 1 ประชากรและความเข้มของการเสียชีวิตของ MI ความเร็วที่ระบุที่การเสียชีวิตเกิดขึ้นในปริมาณที่ 1 ประชากรจะถูกกำหนดโดยกฎต่อไปนี้:
กราฟของความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการผสมพันธุ์และความตายนี้มีรูปแบบ:
รูปที่ 5 - กราฟของความเข้มการเปลี่ยนแปลงสำหรับกรณีที่ห้าของกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย
เราเขียนสมการสมดุลสำหรับความน่าจะเป็นของรัฐ:
เพื่อค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เราใช้สูตร เราได้รับจำนวนแอปพลิเคชั่นโดยเฉลี่ยในโหมดเครื่องเขียนคือ:
ทำการประมาณการจากด้านบน:
ทางนี้:
เราได้รับคะแนนต่อไปนี้สำหรับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบในโหมดที่อยู่กับที่:
3.6 ระบบที่มีข้อ จำกัด สำหรับเวลาของการใช้งานการใช้งานสตรีมเพิ่มเติมและจำนวนเครื่องมือที่ไม่มีที่สิ้นสุด
ให้ความเร็วหลี่ซึ่งการแพร่กระจายของปริมาณฉันประชากรและความรุนแรงของการตายของ MI ความเร็วที่ระบุซึ่งการตายเกิดขึ้นในระดับปริมาตรของฉันมีการพิจารณาที่กฎบทเรียน:
กราฟของความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการผสมพันธุ์และความตายนี้มีรูปแบบ:
รูปที่ 6 - นับจำนวนความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกรณีที่หกของกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย
เราเขียนสมการสมดุลสำหรับความน่าจะเป็นของรัฐ:
เพื่อค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เราใช้สูตร เราได้รับจำนวนแอปพลิเคชั่นโดยเฉลี่ยในโหมดเครื่องเขียนคือ:
ทำการประมาณการจากด้านบน:
ทางนี้:
เราได้รับคะแนนต่อไปนี้สำหรับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบในโหมดที่อยู่กับที่:
บทสรุป
ดังนั้นเราจึงดูที่สำคัญและแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการผสมพันธุ์และความตายและบนพื้นฐานของระบบบริการมวลพื้นฐานสี่ประเภท: ด้วยการสูญเสียและความคาดหวัง ระบุว่ากระบวนการ Markov ของการเพาะพันธุ์และความตายด้วยเวลาต่อเนื่องเรียกว่ากระบวนการสุ่มที่สามารถใช้ค่าที่ไม่ใช่ลบได้มาก การเปลี่ยนแปลงที่สามารถเกิดขึ้นได้ในเวลาใดก็ได้ในขณะที่ทุกครั้งที่สามารถเพิ่มขึ้นได้หรือลดลงหนึ่งหรือยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
นอกจากนี้ในบทความนี้ใบรับรองทฤษฎีและตัวอย่างของการกำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับกระบวนการผสมพันธุ์และการเสียชีวิตที่หลากหลายได้รับการแก้ไขภารกิจการปฏิบัติได้รับการแก้ไข
ดังนั้นด้วยความช่วยเหลือของกระบวนการผสมพันธุ์และความตายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการต่าง ๆ เช่นเดียวกับรุ่นของปรากฏการณ์หลายอย่างในชีววิทยาฟิสิกส์และพื้นที่อื่น ๆ นอกจากนี้กระบวนการตายและการสืบพันธุ์มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการปฏิบัติทางวิศวกรรมในการศึกษาระบบเทคนิคต่างๆมีความสัมพันธ์โดยตรงกับกระบวนการหลายอย่างที่เกิดขึ้นในสภาพแวดล้อม กระบวนการ Markov รองรับทฤษฎีการบริการมวลชนซึ่งในทางกลับกันเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในระบบเศรษฐกิจโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อจัดการองค์กรและกระบวนการต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในนั้น
ในบทความนี้กระบวนการของการสืบพันธุ์และการเสียชีวิตได้รับการพิจารณาและสูตรสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็น จำกัด ซึ่งใช้เพื่ออธิบายระบบการบำรุงรักษาจำนวนมากที่มีการสูญเสียและความคาดหวังตามการไหลที่ง่ายที่สุดของการใช้งาน สูตรได้รับสำหรับคุณสมบัติบางอย่าง
รายการแหล่งที่มาที่ใช้
Ventcel, E.S. ทฤษฎีกระบวนการสุ่มและการใช้งานวิศวกรรม: การสอนของนักเรียน / E.S. ventcel, l.a. ovcharov - 2nd ed - ม.: "โรงเรียนมัธยม", 2000 - 384 p
malinkovsky, yu.v. การบรรยายเกี่ยวกับทฤษฎีการบริการมวลชน: บทช่วยสอนสำหรับมหาวิทยาลัย / Yu.V malinkovsky - Gomel: GSU พวกเขา F. Skirina, - 184 p (ตัวแปรอิเล็กทรอนิกส์)
Barucha Reed, A.T. องค์ประกอบของทฤษฎีกระบวนการของ Markov และแอปพลิเคชันของพวกเขา / a.t. Barucha_rid - M.: วิทยาศาสตร์, 1969 - 512 p
Sevastyanov, B.a. ในกระบวนการ Markov บางประเภท / B.A Sevastyanov - t 4, vol. 4 - UMN, 1949 - ด้วย 194
Kolmogorov, A.N บทนำสู่ทฤษฎีของความน่าจะเป็น: การศึกษา สำหรับมหาวิทยาลัย / I. Zhurbenko, A.V Prokhorov - m.: วิทยาศาสตร์, 1982 - 160 s
การสอน
ต้องการความช่วยเหลือในการศึกษาธีมภาษาอะไร
ผู้เชี่ยวชาญของเราจะให้คำแนะนำหรือมีบริการกวดวิชาสำหรับเรื่องที่น่าสนใจ
ส่งคำขอ กับหัวข้อตอนนี้เพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับความเป็นไปได้ที่จะได้รับการปรึกษาหารือ
ในงานเชิงทฤษฎีนี้รูปแบบของโซ่มาร์คอฟแบบต่อเนื่องจะได้รับการพิจารณา - สิ่งที่เรียกว่า "Swility and Reproduction Scheme"
หัวข้อนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างมากเนื่องจากความสำคัญสูงของกระบวนการทำมาร์คอฟในการศึกษากระบวนการทางเศรษฐกิจสิ่งแวดล้อมและชีวภาพนอกจากนี้กระบวนการ Markov ยังเป็นหัวใจของทฤษฎีบริการมวลชนซึ่งปัจจุบันใช้ในพื้นที่เศรษฐกิจที่หลากหลาย รวมถึงการจัดการกระบวนการในองค์กร
กระบวนการมาร์คอฟของความตายและการทำสำเนามีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการอธิบายกระบวนการต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในชีวมณฑลระบบนิเวศ ฯลฯ ควรสังเกตว่ากระบวนการของ Markov ประเภทนี้ได้รับชื่ออย่างแม่นยำเนื่องจากการใช้งานอย่างกว้างขวางในชีววิทยาโดยเฉพาะอย่างยิ่งการจำลองความตายและการสืบพันธุ์ของประชากรแต่ละคน
ในบทความนี้กระบวนการของความตายและการสืบพันธุ์จะถูกใช้ในการแก้ปัญหาวัตถุประสงค์ของการค้นหาจำนวนผึ้งโดยประมาณในประชากรแยกต่างหาก
ส่วนทฤษฎี
เป็นส่วนหนึ่งของส่วนทฤษฎีสมการพีชคณิตสำหรับความน่าจะเป็นที่ จำกัด จะถูกเขียนขึ้น เห็นได้ชัดว่าถ้าโซ่อย่างต่อเนื่องทั้งสองของ Markov มีกราฟสถานะเดียวกันและแตกต่างกันในค่าความเข้มเท่านั้น
คุณสามารถค้นหาความน่าจะเป็นที่ จำกัด ของรัฐสำหรับแต่ละกราฟแยกต่างหากได้ก็เพียงพอที่จะรวบรวมและแก้ไขในจดหมายของสมการสำหรับหนึ่งในนั้นจากนั้นแทนที่จะแทนที่จะเป็นค่าที่เกี่ยวข้อง สำหรับตัวเลขทั่วไปของกราฟสมการเชิงเส้นสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายในจดหมาย
ในบทความนี้โครงการของโซ่มาร์คอฟต่อเนื่องจะถูกอธิบาย - เรียกว่า "แผนภาพการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์"
โซ่อย่างต่อเนื่อง Markov เรียกว่า "กระบวนการแห่งความตายและการสืบพันธุ์" หากกราฟของรัฐมีลักษณะที่ปรากฏในรูปที่ 1.1, IE ทุกรัฐสามารถดึงออกไปยังโซ่เดียวที่แต่ละรัฐหมายถึง (s 2, s n-1) เชื่อมโยงกับโดยตรงและข้อเสนอแนะกับแต่ละรัฐที่อยู่ติดกันและรัฐที่รุนแรง ( S 1, S N) - เฉพาะกับรัฐใกล้เคียงหนึ่งรัฐเท่านั้น
ในการบันทึกสมการพีชคณิตสำหรับความน่าจะเป็นของรัฐให้ใช้งานบางประเภท
ตัวอย่าง. อุปกรณ์ทางเทคนิคประกอบด้วยสามโหนดที่เหมือนกัน แต่ละคนอาจล้มเหลว (ปฏิเสธ); โหนดที่ถูกปฏิเสธเริ่มฟื้นตัวทันที หมายเลขสถานะของระบบโดยจำนวนโหนดที่ผิดปกติ:
S 0 - ทั้งสามโหนดเป็นสิ่งที่ดี
S 1 - โหนดหนึ่งโหนดปฏิเสธ (กู้คืน), สองคนดี;
S 2 - สองโหนดได้รับการกู้คืนหนึ่งกำลังทำงาน
S 3 - ทั้งสามโหนดจะถูกกู้คืน
สถานะการนับจะแสดงในรูปที่ 1.2 จากกราฟเป็นที่ชัดเจนว่ากระบวนการที่ไหลในระบบเป็นกระบวนการของ "การตายและการสืบพันธุ์"
โครงการแห่งความตายและการสืบพันธุ์มักพบได้บ่อยในงานภาคปฏิบัติที่หลากหลาย ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลล่วงหน้าที่จะพิจารณาโครงการนี้โดยทั่วไปและแก้ไขระบบที่สอดคล้องกันของสมการพีชคณิตเพื่อให้ในอนาคตการประชุมกับกระบวนการเฉพาะที่เกิดขึ้นตามรูปแบบดังกล่าวไม่สามารถแก้ปัญหาได้ทุกครั้งอีกครั้ง แต่จะใช้ โซลูชันสำเร็จรูป
ดังนั้นพิจารณากระบวนการสุ่มของความตายและการสืบพันธุ์ด้วยกราฟของรัฐที่แสดงในรูปที่ 1.3
เราจะเขียนสมการพีชคณิตสำหรับความน่าจะเป็นของรัฐ สำหรับสถานะแรกของ S 1 เรามี:
สำหรับสถานะที่สองของ S 2 จำนวนสมาชิกที่สอดคล้องกับลูกศรขาเข้าและขาออกเท่ากับ:
แต่โดยอาศัยอำนาจ (1.2) คุณสามารถตัดด้านขวาและซ้ายเท่ากับสมาชิกอื่น ๆ และรับ:
ในคำศัพท์สำหรับโครงการแห่งความตายและการสืบพันธุ์สมาชิกที่สอดคล้องกับลูกศรที่ยืนอยู่เหนือซึ่งกันและกันนั้นเท่ากับกัน:
ที่ไหน เค. ใช้ค่าทั้งหมดจาก 2 ถึง n.
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ จำกัด ของรัฐ r k p 2\u003e ... , r p เข้ามา แผนภาพใด ๆ ของความตายและการสืบพันธุ์สนองความพึงพอใจสมการ:
(1.4)
และสภาพปกติ:
(1.5)
เราจะแก้ปัญหาระบบนี้ดังต่อไปนี้: จากสมการแรก (1.4) ด่วน p 2:
จากที่สองคำนึงถึง (1.6) เราได้รับ
(1.7)
จากที่สามคำนึงถึง (1.7):
(1.8)
สูตรนี้ใช้ได้สำหรับใด ๆ เค. จาก 2 ถึง พี.
ให้ความสนใจกับโครงสร้างของมัน ในตัวเศษมีผลิตภัณฑ์ของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลง (ความเข้ม) ที่ยืนโดยลูกศรที่กำกับจากซ้ายไปขวาตั้งแต่จุดเริ่มต้นและจนถึงคนที่เข้าสู่สถานะ S K ; ในตัวหาร - การทำงานของความเข้มทั้งหมด , ยืนโดยลูกศรไปทางซ้ายอีกครั้งจากจุดเริ่มต้นและขึ้นไปถึงลูกศรขาออกจากรัฐ S K . สำหรับ k \u003d n จำนวนความเข้มจะยืนอยู่ในตัวเศษ , ยืนอยู่กับลูกศรทั้งหมดไปทางซ้ายขวาและในตัวหาร - ลูกศรทั้งหมดไปทางซ้าย
ดังนั้นความน่าจะเป็นทั้งหมดจะแสดงผ่านหนึ่งในนั้น:. แทนที่การแสดงออกเหล่านี้ในสภาพปกติ: . เราได้รับ:
ความน่าจะเป็นที่เหลือจะแสดงออกผ่าน
(1.10)
ดังนั้นงานของ "การเสียชีวิตและการสืบพันธุ์" ได้รับการแก้ไขในรูปแบบทั่วไป: พบข้อ จำกัด ของสถานะของรัฐ
ส่วนที่ใช้งานได้จริง
กระบวนการ Markov โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์ถูกใช้เพื่ออธิบายการทำงานและการวิเคราะห์ระบบคลาสกว้างที่มีจำนวนสถานะ จำกัด ที่เกิดขึ้นซ้ำการเปลี่ยนจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่งภายใต้อิทธิพลใด ๆ ในระบบดังกล่าวพวกเขาเกิดขึ้นแบบสุ่มกระโดดในช่วงเวลาที่กำหนดเวลาที่เกิดขึ้น (เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น) ตามกฎแล้วพวกเขามีสองประเภท: หนึ่งในนั้นถูกเรียกว่าการกำเนิดของวัตถุและครั้งที่สองคือการตายของเขา
การสืบพันธุ์ตามธรรมชาติของครอบครัวผึ้ง - จากมุมมองของกระบวนการที่ไหลในระบบในเวลาปัจจุบันเป็นไปได้ที่จะพิจารณาเป็นกระบวนการที่น่าจะเป็นเมื่อครอบครัวในบางช่วงเวลาสามารถย้ายจากรัฐที่ทำงานเข้าไปใน rooh . ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับปัจจัยต่าง ๆ ทั้งทางเทคโนโลยีควบคุมและควบคุมโรคทางชีวภาพและภูมิอากาศที่ควบคุมได้อย่างอ่อนลงก็สามารถจบหรือคืนครอบครัวให้เป็นสภาพการทำงาน ในเวลาเดียวกันครอบครัวสามารถเปลี่ยนเป็นสิ่งหนึ่งได้ซ้ำแล้วซ้ำอีกจากนั้นไปยังรัฐอื่น ดังนั้นเพื่ออธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการจึงอนุญาตให้ใช้ทฤษฎีของกระบวนการทำมาร์คอฟที่เป็นเนื้อเดียวกัน
ความเข้มของการเปลี่ยนแปลงของครอบครัวผึ้งเข้าสู่สถานะ rooh คือการสืบพันธุ์ - ส่วนใหญ่กำหนดโดยอัตราการสะสมของผึ้งที่ไม่มีชีวิตน้อย ความเข้มของการเปลี่ยนแปลงย้อนกลับคือ "ความตาย" - การกลับมาของครอบครัวต่อสภาพการทำงานซึ่งในทางกลับกันขึ้นอยู่กับช่วงเวลาที่แท้จริงการเลือกรายละเอียดและผึ้ง (การก่อตัวของผู้ส่งสาร) ปริมาณน้ำหวาน รวบรวม ฯลฯ
ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านของผึ้งของครอบครัวเข้าไปในสภาวะ Rooth ก่อนที่ทั้งหมดจะถูกกำหนดโดยความเข้มของกระบวนการที่ส่งต่อไปยังและต่อต้านผู้ทดสอบμซึ่งขึ้นอยู่กับเทคโนโลยีที่ใช้ในการลด เส้นทางของครอบครัว ดังนั้นจึงมีอิทธิพลต่อกระบวนการที่กล่าวถึงจำเป็นต้องเปลี่ยนความเข้มและทิศทางของกระแสλและμ (รูปที่ 1)
การเลือกแบบจำลองเพียงครั้งเดียวของผึ้ง (เพิ่ม "ความตาย" ของพวกเขาแสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของสถานะการทำงานคือลอการิทึมและความน่าจะเป็นของดอกกุหลาบจึงลดลงลอการิทึม ในการต่อต้านการเกิดขึ้น - คัดเลือกจากครอบครัว 5-7 พันผึ้ง (สองหรือสามเฟรมมาตรฐาน) - ความน่าจะเป็นของสปาเตียมจะเป็น 0.05 และความน่าจะเป็นของสภาพการทำงานคือ 0.8; การเลือกมากกว่าสามเฟรมที่มีผึ้งช่วยลดโอกาสในปริมาณที่น้อยมาก
เราจะแก้ปัญหาการปฏิบัติที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการของ Roding at Bees
สำหรับการเริ่มต้นเราสร้างกราฟที่คล้ายกับกราฟในรูปที่ 1 ด้วยความเข้มของการเปลี่ยนเป็นสถานะของหรืออื่น
| |
|
